Упр.27.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) значения функции при х = — 2, х = 4;
б) значения аргумента, которым соответствует у = 2;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-4; 3];
г) каким промежуткам принадлежит переменная х, если y ? (2; 4,5]. Запишите уравнение параболы у = ах^2 + m, график которой изображён на указанном рисунке:
а) рис. 75; в) рис. 77; д) рис. 79;
б) рис. 76; г) рис. 78; е) рис. 80.

Функция $$y=0{,}5x^2$$ задаёт параболу с вершиной в точке $$ (0;0) $$, ветви направлены вверх. Для построения удобно взять несколько значений аргумента:

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \end{array} $$

По графику получаем:

а) при $$x=-2$$ имеем $$y=2$$, при $$x=4$$ имеем $$y=8$$;

б) значение $$y=2$$ соответствует $$x=-2$$ и $$x=2$$;

в) на промежутке $$[-4;3]$$ наименьшее значение функции равно $$0$$, наибольшее — $$8$$;

г) если $$y\in(2;4{,}5]$$, то

$$ 2<0{,}5x^2\le 4{,}5 $$
$$ 4<x^2\le 9 $$
$$ 2<|x|\le 3 $$

Значит,

$$ x\in[-3;-2)\cup(2;3]. $$

Для уравнений параболы вида $$y=ax^2+m$$ используем вершину и ещё одну точку графика.

а) Вершина: $$ (0;-4) $$, значит, $$m=-4$$. Точка $$ (1;-2) $$ принадлежит графику, тогда

$$ -2=a\cdot 1^2-4 $$
$$ a=2 $$

Следовательно, $$y=2x^2-4$$.

б) Вершина: $$ (0;-2) $$, значит, $$m=-2$$. Точка $$ (2;0) $$ принадлежит графику, тогда

$$ 0=a\cdot 2^2-2 $$
$$ 4a=2 $$
$$ a=0{,}5 $$

Следовательно, $$y=0{,}5x^2-2$$.

в) Вершина: $$ (0;2) $$, значит, $$m=2$$. Точка $$ (1;3) $$ принадлежит графику, тогда

$$ 3=a\cdot 1^2+2 $$
$$ a=1 $$

Следовательно, $$y=x^2+2$$.

г) Вершина: $$ (0;5) $$, значит, $$m=5$$. Точка $$ (2;1) $$ принадлежит графику, тогда

$$ 1=a\cdot 2^2+5 $$
$$ 4a=-4 $$
$$ a=-1 $$

Следовательно, $$y=-x^2+5$$.

д) Вершина: $$ (0;3) $$, значит, $$m=3$$. Точка $$ (3;0) $$ принадлежит графику, тогда

$$ 0=a\cdot 3^2+3 $$
$$ 9a=-3 $$
$$ a=-\frac{1}{3} $$

Следовательно, $$y=-\frac{1}{3}x^2+3$$.

е) Вершина: $$ (0;-1) $$, значит, $$m=-1$$. Точка $$ (1;-3) $$ принадлежит графику, тогда

$$ -3=a\cdot 1^2-1 $$
$$ a=-2 $$

Следовательно, $$y=-2x^2-1$$.

Ответ

а) $$y=2$$ и $$y=8$$;
б) $$x=-2$$, $$x=2$$;
в) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}=8$$;
г) $$x\in[-3;-2)\cup(2;3]$$;
а) $$y=2x^2-4$$;
б) $$y=0{,}5x^2-2$$;
в) $$y=x^2+2$$;
г) $$y=-x^2+5$$;
д) $$y=-\frac{1}{3}x^2+3$$;
е) $$y=-2x^2-1$$.