Упр.27.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) значения функции при х = — 1, х = 1;
б) значения аргумента, которым соответствует значение у = 12;
в) значения х, при которых у < 12, у > 12;
г) значения у, если 0 < х < 2. Решите графически уравнение:
а) -vx - 4 = 3x^2; г) -|x| + 2 = 0,5(x - 2)^2;
б) 2x^2 - 1 = -|x| + 2; д) 2x^2 = vx + 1;
в) |x| - 4 = -vx - 3; е) -1/2 x^2 = |x| + 1.
Построим график функции $$y=3x^2.$$ Это парабола с вершиной в точке $$ (0;0) $$, ветви направлены вверх. Для построения удобно взять несколько значений:
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 12 & 3 & 0 & 3 & 12 \end{array} $$
По графику получаем:
а) при $$x=-1$$ имеем $$y=3$$; при $$x=1$$ имеем $$y=3$$.
б) значение $$y=12$$ соответствует $$x=-2$$ и $$x=2$$.
в) $$y<12$$ при $$-2<x<2$$; $$y>12$$ при $$x<-2$$ и $$x>2$$.
г) если $$0<x<2$$, то $$0<y<12$$.
Решим уравнения графически.
а) $$-\sqrt{x}-4=3x^2.$$
Функция $$y=-\sqrt{x}-4$$ определена при $$x\ge 0$$ и не превосходит $$-4$$, а $$y=3x^2\ge 0$$. Графики не пересекаются, значит решений нет.
б) $$2x^2-1=-|x|+2.$$
$$ 2x^2-1=-|x|+2 \\ 2x^2+|x|-3=0 $$
Положим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем:
$$ 2t^2+t-3=0 $$
$$ D=1+24=25,\quad t=\frac{-1\pm 5}{4} $$
$$ t_1=1,\quad t_2=-\frac32 $$
Подходит только $$t=1$$, значит $$|x|=1$$, откуда
$$ x=-1 \text{ или } x=1. $$
в) $$|x|-4=-\sqrt{x}-3.$$
Область определения: $$x\ge 0$$, поэтому $$|x|=x$$. Тогда
$$ x-4=-\sqrt{x}-3 \\ x+\sqrt{x}-1=0 $$
Положим $$t=\sqrt{x}\ge 0$$, тогда $$x=t^2$$:
$$ t^2+t-1=0 $$
$$ t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} $$
Подходит только
$$ t=\frac{\sqrt5-1}{2}. $$
Тогда
$$ x=t^2=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{2}. $$
г) $$-|x|+2=0{,}5(x-2)^2.$$
Правая часть неотрицательна, значит левая тоже должна быть неотрицательной:
$$ -|x|+2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 2. $$
Проверим точки пересечения графиков. При $$x=0$$:
$$ -|0|+2=2,\qquad 0{,}5(0-2)^2=2. $$
При $$x=2$$:
$$ -|2|+2=0,\qquad 0{,}5(2-2)^2=0. $$
Значит, решения:
$$ x=0 \text{ и } x=2. $$
д) $$2x^2=\sqrt{x}+1.$$
При $$x=1$$:
$$ 2\cdot 1^2=\sqrt1+1=2. $$
Других точек пересечения графики не имеют, значит
$$ x=1. $$
е) $$-\frac12 x^2=|x|+1.$$
Левая часть не больше нуля, а правая часть всегда больше нуля. Следовательно, решений нет.
Ответ
а) $$y(-1)=3,\; y(1)=3$$;
б) $$x=-2,\; x=2$$;
в) $$y<12$$ при $$-2<x<2$$, $$y>12$$ при $$x<-2$$ и $$x>2$$;
г) $$0<y<12$$;
а) решений нет;
б) $$x=-1,\; 1$$;
в) $$x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$$;
г) $$x=0,\; 2$$;
д) $$x=1$$;
е) решений нет.
