Упр.27.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=f(x)$$, где

$$f(x)=\begin{cases}x+4, & \text{если } -4\leq x\leq -1,\\ 2x^2, & \text{если } -1

С помощью графика установите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет:

а) один корень; б) не более одного корня; в) четыре корня; г) три корня; д) два корня; е) не более двух корней.

Рассмотрим функцию по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x+4, & -4 \le x \le -1,\\ 2x^2, & -1 < x < 1,\\ -x+3, & 1 \le x \le 3. \end{cases}$$

Найдём, какие значения принимает каждая часть функции:

• при $$-4 \le x \le -1$$ имеем $$y=x+4$$, значит $$0 \le y \le 3$$;
• при $$-1 < x < 1$$ имеем $$y=2x^2$$, значит $$0 \le y < 2$$;
• при $$1 \le x \le 3$$ имеем $$y=-x+3$$, значит $$0 \le y \le 2$$.

По графику определяем число корней уравнения $$f(x)=p$$, то есть число пересечений горизонтальной прямой $$y=p$$ с графиком функции.

• Если $$2 < p \le 3$$, прямая пересекает график только на левом отрезке, значит корень один.
• Если $$p > 2$$ или $$p < 0$$, пересечений нет более одного, то есть корней не более одного.
• Если $$0 < p < 2$$, прямая пересекает график в четырёх точках, значит корней четыре.
• Если $$p=0$$, получаем три корня.
• Если $$p=2$$, получаем два корня.
• Если $$p<0$$ или $$p\ge 2$$, корней не более двух.

Ответ

а) $$2 < p \le 3$$;
б) $$p > 2$$ или $$p < 0$$;
в) $$0 < p < 2$$;
г) $$p=0$$;
д) $$p=2$$;
е) $$p<0$$ или $$p\ge 2$$.