Упр.27.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {x + 4, если -4 ? x ? -1; 2x^2, если -1 < x < 1; -x + 3, если 1 ? x ? 3}. С помощью графика установите, при каких значениях параметра р уравнение f(х) = р имеет: а) один корень; г) три корня; б) не более одного корня; д) два корня; в) четыре корня; е) не более двух корней.

Рассмотрим функцию по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x+4, & -4 \le x \le -1,\\ 2x^2, & -1 < x < 1,\\ -x+3, & 1 \le x \le 3. \end{cases} $$

Найдём, какие значения принимает каждая часть функции:

• при $$-4 \le x \le -1$$ имеем $$y=x+4$$, значит $$0 \le y \le 3$$;
• при $$-1 < x < 1$$ имеем $$y=2x^2$$, значит $$0 \le y < 2$$;
• при $$1 \le x \le 3$$ имеем $$y=-x+3$$, значит $$0 \le y \le 2$$.

По графику определяем число корней уравнения $$f(x)=p$$, то есть число пересечений горизонтальной прямой $$y=p$$ с графиком функции.

• Если $$2 < p \le 3$$, прямая пересекает график только на левом отрезке, значит корень один.
• Если $$p > 2$$ или $$p < 0$$, пересечений нет более одного, то есть корней не более одного.
• Если $$0 < p < 2$$, прямая пересекает график в четырёх точках, значит корней четыре.
• Если $$p=0$$, получаем три корня.
• Если $$p=2$$, получаем два корня.
• Если $$p<0$$ или $$p\ge 2$$, корней не более двух.

Ответ

а) $$2 < p \le 3$$;
б) $$p > 2$$ или $$p < 0$$;
в) $$0 < p < 2$$;
г) $$p=0$$;
д) $$p=2$$;
е) $$p<0$$ или $$p\ge 2$$.