Упр.27.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} -x-4, & \text{если } -4\leq x<-2,\\ 0{,}5x^2, & \text{если } -2\leq x<2,\\ -2, & \text{если } 2\leq x\leq 3. \end{cases}$$
а) Найдите $$f(-2{,}5),\ f(-2),\ f(-1{,}5),\ f(0{,}5),\ f(2),\ f(3).$$
б) Постройте график функции $$y=f(x).$$
в) Перечислите свойства функции.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} -x-4, & -4 \le x < -2,\\ 0{,}5x^2, & -2 \le x < 2,\\ -2, & 2 \le x \le 3. \end{cases}$$
а) Найдём значения функции:
$$f(-2{,}5)=-(-2{,}5)-4=2{,}5-4=-1{,}5;$$
$$f(-2)=0{,}5\cdot(-2)^2=0{,}5\cdot 4=2;$$
$$f(-1{,}5)=0{,}5\cdot(-1{,}5)^2=0{,}5\cdot 2{,}25=1{,}125;$$
$$f(0{,}5)=0{,}5\cdot(0{,}5)^2=0{,}5\cdot 0{,}25=0{,}125;$$
$$f(2)=-2;$$
$$f(3)=-2.$$
б) Построим график функции по частям.
1) На промежутке $$-4 \le x < -2$$ график — отрезок прямой $$y=-x-4$$. Для построения удобно взять точки:
$$x=-4 \Rightarrow y=0,\qquad x=-3 \Rightarrow y=-1.$$
2) На промежутке $$-2 \le x < 2$$ график — часть параболы $$y=0{,}5x^2$$. Удобные точки:
$$x=-2 \Rightarrow y=2,\qquad x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=2 \Rightarrow y=2.$$
3) На промежутке $$2 \le x \le 3$$ график — горизонтальный отрезок $$y=-2$$.
в) Перечислим свойства функции:
- область определения: $$[-4;3]$$;
- область значений: $$[-2;2]$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=-4$$ и $$x=0$$;
- функция убывает на $$[-4;-2)$$ и $$[-2;0]$$;
- функция возрастает на $$[0;2)$$;
- функция постоянна на $$[2;3]$$;
- на промежутке $$[-2;2)$$ функция выпукла вниз;
- функция имеет разрывы при $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Ответ
а) $$f(-2{,}5)=-1{,}5,\; f(-2)=2,\; f(-1{,}5)=1{,}125,\; f(0{,}5)=0{,}125,\; f(2)=-2,\; f(3)=-2.$$
б) График состоит из отрезка прямой $$y=-x-4$$ при $$-4 \le x < -2$$, части параболы $$y=0{,}5x^2$$ при $$-2 \le x < 2$$ и отрезка $$y=-2$$ при $$2 \le x \le 3$$.
в) $$D(f)=[-4;3]$$, $$E(f)=[-2;2]$$; функция убывает на $$[-4;-2)$$ и $$[-2;0]$$, возрастает на $$[0;2)$$, постоянна на $$[2;3]$$; $$f(x)=0$$ при $$x=-4$$ и $$x=0$$; разрывы при $$x=-2$$ и $$x=2$$.
