Упр.27.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где

$$f(x)=\begin{cases}0{,}5x^2, & \text{если } -4\le x<0;\\ \sqrt{x}, & \text{если } 0\le x\le4.\end{cases}$$

1. Найдите $$f(-4),\ f(-3),\ f(0),\ f(2),\ f(4),\ f(5).$$
2. Постройте график функции $$y=f(x).$$
3. Найдите значения $$x$$, если $$f(x)=2,\ f(x)=0,\ f(x)=-2.$$
4. Перечислите свойства функции.

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 0{,}5x^2, & -4\le x<0,\\ \sqrt{x}, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-4)=0{,}5\cdot(-4)^2=0{,}5\cdot16=8,$$

$$f(-3)=0{,}5\cdot(-3)^2=0{,}5\cdot9=4{,}5,$$

$$f(0)=\sqrt{0}=0,$$

$$f(2)=\sqrt{2},$$

$$f(4)=\sqrt{4}=2.$$

Так как $$5\notin[-4;4],$$ то $$f(5)$$ не существует.

б) Построим график функции.

На отрезке $$[-4;0)$$ график задаётся параболой $$y=0{,}5x^2$$. Для построения удобно взять точки:

$$(-4;8),\;(-2;2),\;(0;0).$$

На отрезке $$[0;4]$$ график задаётся функцией $$y=\sqrt{x}$$. Для построения удобно взять точки:

$$(0;0),\;(1;1),\;(4;2).$$

Итоговый график состоит из двух частей: ветви параболы слева и графика корня справа, с точками $$(-4;8)$$ и $$(4;2)$$ включительно.

в) Найдём значения $$x$$:

$$f(x)=2$$
при $$x=-2$$ и $$x=4$$;

$$f(x)=0$$
при $$x=0$$;

$$f(x)=-2$$
не существует, так как значения функции неотрицательны.

г) Перечислим свойства функции:

• область определения: $$[-4;4]$$;
• область значений: $$[0;8]$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in[-4;0)\cup(0;4]$$;
• функция убывает на $$[-4;0]$$;
• функция возрастает на $$[0;4]$$;
• наибольшее значение: $$8$$, наименьшее значение: $$0$$;
• функция непрерывна на своей области определения.

Ответ

а) $$f(-4)=8,\; f(-3)=4{,}5,\; f(0)=0,\; f(2)=\sqrt{2},\; f(4)=2,\; f(5)$$ не существует.

в) $$f(x)=2$$ при $$x=-2$$ и $$x=4$$; $$f(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f(x)=-2$$ не существует.

г) $$D(f)=[-4;4],\; E(f)=[0;8]$$; функция убывает на $$[-4;0]$$ и возрастает на $$[0;4]$$.