Упр.27.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ прямая $$y=2x$$ расположена ниже параболы $$y=2x^2$$; а) выше параболы $$y=2x^2$$?
2. Вычислите: а) $$\frac{3}{3+2\sqrt{5}}+\frac{3}{3-2\sqrt{5}}$$; б) $$\frac{5}{1+4\sqrt{3}}+\frac{5}{1-4\sqrt{3}}$$.

Сравним значения функций $$y=2x$$ и $$y=2x^2$$.

Прямая расположена ниже параболы, когда

$$2x<2x^2.$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x<x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-x>0,$$

$$x(x-1)>0.$$

Произведение положительно, если оба множителя одного знака:

• $$x<0$$;
• $$x>1.$$

Значит, прямая $$y=2x$$ расположена ниже параболы $$y=2x^2$$ при $$x<0$$ или $$x>1$$.

Прямая расположена выше параболы, когда

$$2x>2x^2,$$

то есть

$$x^2-x<0,$$

$$x(x-1)<0.$$

Это выполняется при

$$0<x<1.$$

Вычислим выражения.

а)

$$\frac{3}{3+2\sqrt5}+\frac{3}{3-2\sqrt5} =\frac{3(3-2\sqrt5)+3(3+2\sqrt5)}{(3+2\sqrt5)(3-2\sqrt5)}$$

$$=\frac{9-6\sqrt5+9+6\sqrt5}{9-20} =\frac{18}{-11} =-\frac{18}{11}.$$

б)

$$\frac{5}{1+4\sqrt3}+\frac{5}{1-4\sqrt3} =\frac{5(1-4\sqrt3)+5(1+4\sqrt3)}{(1+4\sqrt3)(1-4\sqrt3)}$$

$$=\frac{5-20\sqrt3+5+20\sqrt3}{1-48} =\frac{10}{-47} =-\frac{10}{47}.$$

Ответ

а) $$x<0$$ или $$x>1$$; б) $$0<x<1$$; а) $$-\frac{18}{11}$$; б) $$-\frac{10}{47}$$.