Упр.27.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) {y = 0,125x^2; y = vx};
б) {y = -vx; y = 3x^2};
в) {y = 4|x|; y = 2x^2};
г) {y = |x|; y = 1/4 x^2};
д) {y = x + 3; y = 2x^2};
е) {y = 0,5x^2; y = 1,5x}. Упростите выражение:
а) (a/(b^2 + ab) + (a — b)/(a^2 — ab)) : (b^2/(a^3 — ab^2) + 1/(a — b);
б) ((xy — z)/(x + z) — (yz + x)/(z — x)) · ((x^2 — z^2)/(y^2 — 1) : (x^2 + z^2)/(y — 1)).

Подробный ответ

а) $$\begin{cases} y=0{,}125x^2 \\ y=\sqrt{x} \end{cases}$$
Точки пересечения графиков: $$x=0,\; y=0$$ и $$x=4,\; y=2.$$
Следовательно, решение системы: $$ (0;0),\ (4;2). $$
б) $$\begin{cases} y=-\sqrt{x} \\ y=3x^2 \end{cases}$$
Графики пересекаются только в начале координат:
$$ (0;0). $$
в) $$\begin{cases} y=4|x| \\ y=2x^2 \end{cases}$$
Точки пересечения:
$$ (-2;8),\ (0;0),\ (2;8). $$
г) $$\begin{cases} y=|x| \\ y=\frac14x^2 \end{cases}$$
Точки пересечения:
$$ (-4;4),\ (0;0),\ (4;4). $$
д) $$\begin{cases} y=x+3 \\ y=2x^2 \end{cases}$$
Решаем уравнение пересечения:
$$ 2x^2=x+3 $$
$$ 2x^2-x-3=0 $$
$$ (2x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=\frac32 \text{ или } x=-1 $$
Тогда
$$x=-1 \Rightarrow y=2; \qquad x=\frac32 \Rightarrow y=\frac92=4{,}5.$$
Ответ: $$(-1;2),\ \left(1{,}5;4{,}5\right).$$
е) $$\begin{cases} y=0{,}5x^2 \\ y=1{,}5x \end{cases}$$
Решаем уравнение пересечения:
$$ 0{,}5x^2=1{,}5x $$
$$ 0{,}5x^2-1{,}5x=0 $$
$$ 0{,}5x(x-3)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=3 $$
Тогда
$$x=0 \Rightarrow y=0; \qquad x=3 \Rightarrow y=4{,}5.$$
Следовательно, решение системы: $$ (0;0),\ (3;4{,}5). $$

Ответ

а) $$ (0;0),\ (4;2) $$
б) $$ (0;0) $$
в) $$ (-2;8),\ (0;0),\ (2;8) $$
г) $$ (-4;4),\ (0;0),\ (4;4) $$
д) $$ (-1;2),\ (1{,}5;4{,}5) $$
е) $$ (0;0),\ (3;4{,}5) $$

Ход решения

а)
$$ \left(\frac{a}{b^2+ab}+\frac{a-b}{a^2-ab}\right):\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a-b}\right) $$
Разложим знаменатели на множители:
$$ b^2+ab=b(a+b), \quad a^2-ab=a(a-b), \quad a^3-ab^2=a(a-b)(a+b) $$
Тогда
$$ \frac{a}{b(a+b)}+\frac{a-b}{a(a-b)}=\frac{a}{b(a+b)}+\frac{1}{a} $$
$$ =\frac{a^2+b(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)} $$
$$ \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{1}{a-b} =\frac{b^2+a(a+b)}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} $$
Теперь делим дроби:
$$ \frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a-b}{b} $$
б)
$$ \left(\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x}\right)\cdot \left(\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1}\right) $$
Так как $$z-x=-(x-z),$$ то
$$ \frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x} =\frac{xy-z}{x+z}+\frac{yz+x}{x-z} $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(xy-z)(x-z)+(yz+x)(x+z)}{(x-z)(x+z)} =\frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2} $$
Вторая скобка:
$$ \frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1} =\frac{x^2-z^2}{(y-1)(y+1)}\cdot\frac{y-1}{x^2+z^2} =\frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)} $$
Перемножаем:
$$ \frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}\cdot \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}=1 $$