Упр.27.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) f(0), f(-1), f(1/2); г) f(1), f(-2), f(1 1/2);
б) f(a), f(-a), f(1/2 a); д) f(-2a), f(1/2 a), f(-1/2 a);
в) f(a + 2), f(2a — 1); е) f(a^2 — 1), f(2a — b) — 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = {1, если -4 ? x < -2; -0,5x^2 + 3, если -2 ? x < 2; x/2, если 2 ? x ? 4}. а) Постройте график функции у = f(x). б) Перечислите свойства функции. в) Установите, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р имеет один корень; три корня.

Дана функция $$f(x)=5x^2.$$ Подставим указанные значения аргумента.

а)

$$f(0)=5\cdot 0^2=0,$$
$$f(-1)=5\cdot (-1)^2=5,$$
$$f\left(\frac12\right)=5\cdot \left(\frac12\right)^2=5\cdot \frac14=\frac54=1{,}25.$$

б)

$$f(a)=5a^2,$$
$$f(-a)=5\cdot (-a)^2=5a^2,$$
$$f\left(\frac12 a\right)=5\cdot \left(\frac12 a\right)^2=5\cdot \frac14 a^2=\frac54 a^2=1{,}25a^2.$$

в)

$$f(a+2)=5(a+2)^2=5(a^2+4a+4)=5a^2+20a+20,$$
$$f(2a-1)=5(2a-1)^2=5(4a^2-4a+1)=20a^2-20a+5.$$

г)

$$f(1)=5\cdot 1^2=5,$$
$$f(-2)=5\cdot (-2)^2=20,$$
$$f\left(1\frac12\right)=5\cdot \left(\frac32\right)^2=5\cdot \frac94=\frac{45}{4}=11\frac14.$$

д)

$$f(-2a)=5\cdot (-2a)^2=20a^2,$$
$$f\left(\frac12 a\right)=\frac54 a^2=1{,}25a^2,$$
$$f\left(-\frac12 a\right)=5\cdot \left(-\frac12 a\right)^2=\frac54 a^2=1{,}25a^2.$$

е)

$$f(a^2-1)=5(a^2-1)^2=5(a^4-2a^2+1)=5a^4-10a^2+5,$$
$$f(2a-b)-1=5(2a-b)^2-1=5(4a^2-4ab+b^2)-1=20a^2-20ab+5b^2-1.$$

Для функции $$y=f(x)$$, где

$$ f(x)= \begin{cases} 1, & -4\le x<-2,\\ -0{,}5x^2+3, & -2\le x<2,\\ \frac{x}{2}, & 2\le x\le 4, \end{cases} $$

а) График состоит из трёх частей:

• отрезок $$y=1$$ при $$-4\le x<-2$$;
• дуга параболы $$y=-0{,}5x^2+3$$ при $$-2\le x<2$$;
• отрезок прямой $$y=\frac{x}{2}$$ при $$2\le x\le 4$$.

Ключевые точки: $$(-4;1),\ (-2;1),\ (0;3),\ (2;1),\ (4;2).$$

б) Свойства функции:

• область определения: $$[-4;4]$$;
• область значений: $$[1;3]$$;
• $$f(x)>0$$ при всех $$x\in[-4;4]$$;
• функция убывает на $$[0;2]$$;
• функция возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[2;4]$$;
• наибольшее значение: $$3$$;
• наименьшее значение: $$1$$;
• функция непрерывна;
• функция ограничена сверху и снизу.

в) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет:

• один корень при $$p=3$$;
• три корня при $$1<p\le 2$$.

Ответ

а) $$f(0)=0,\ f(-1)=5,\ f\left(\frac12\right)=1{,}25;$$
$$f(a)=5a^2,\ f(-a)=5a^2,\ f\left(\frac12 a\right)=1{,}25a^2;$$
$$f(a+2)=5a^2+20a+20,\ f(2a-1)=20a^2-20a+5;$$
$$f(1)=5,\ f(-2)=20,\ f\left(1\frac12\right)=11\frac14;$$
$$f(-2a)=20a^2,\ f\left(\frac12 a\right)=1{,}25a^2,\ f\left(-\frac12 a\right)=1{,}25a^2;$$
$$f(a^2-1)=5a^4-10a^2+5,\ f(2a-b)-1=20a^2-20ab+5b^2-1.$$

б) $$D(f)=[-4;4],\ E(f)=[1;3].$$ Функция возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[2;4]$$, убывает на $$[0;2]$$, $$f_{\max}=3,$$ $$f_{\min}=1.$$

в) Один корень при $$p=3$$; три корня при $$1<p\le 2.$$