Упр.26.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) |x — 3| = 4; в) |х + 6| = 3;
б) |x — 2| + |x + 3| = 5; г) |х — 4| + |х + 5| = 9.

Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению реки она шла со скоростью $$x+3$$ км/ч.

На путь по реке лодка затратила $$\frac{6}{x+3}$$ ч, а на путь по озеру — $$\frac{10}{x}$$ ч. По условию весь путь занял 1 час, значит:

$$\frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1$$

Умножим обе части на $$x(x+3)$$:

$$ 6x+10(x+3)=x(x+3) $$

$$ 6x+10x+30=x^2+3x $$

$$ x^2-13x-30=0 $$

$$ D= (-13)^2-4\cdot 1\cdot(-30)=169+120=289 $$

$$ x=\frac{13\pm 17}{2} $$

$$ x_1=15,\quad x_2=-2 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $$x=15$$.

а) $$|x-3|=4$$

$$ x-3=4 \quad \text{или} \quad x-3=-4 $$

$$ x=7 \quad \text{или} \quad x=-1 $$

б) $$|x-2|+|x+3|=5$$

Рассмотрим промежутки:

1) Если $$x<-3$$, то

$$ -(x-2)-(x+3)=5 $$

$$ -2x-1=5 $$

$$ x=-3 $$

Но $$x=-3$$ не подходит для этого промежутка.

2) Если $$-3\le x\le 2$$, то

$$ -(x-2)+(x+3)=5 $$

$$ 5=5 $$

Значит, подходит любое $$x$$ из промежутка $$[-3;2]$$.

3) Если $$x>2$$, то

$$ (x-2)+(x+3)=5 $$

$$ 2x+1=5 $$

$$ x=2 $$

Но $$x=2$$ не подходит для этого промежутка.

в) $$|x+6|=3$$

$$ x+6=3 \quad \text{или} \quad x+6=-3 $$

$$ x=-3 \quad \text{или} \quad x=-9 $$

г) $$|x-4|+|x+5|=9$$

Рассмотрим промежутки:

1) Если $$x<-5$$, то

$$ -(x-4)-(x+5)=9 $$

$$ -2x-1=9 $$

$$ x=-5 $$

Но $$x=-5$$ не подходит для этого промежутка.

2) Если $$-5\le x\le 4$$, то

$$ -(x-4)+(x+5)=9 $$

$$ 9=9 $$

Значит, подходит любое $$x$$ из промежутка $$[-5;4]$$.

3) Если $$x>4$$, то

$$ (x-4)+(x+5)=9 $$

$$ 2x+1=9 $$

$$ x=4 $$

Но $$x=4$$ не подходит для этого промежутка.

Ответ

Скорость лодки по озеру: $$15$$ км/ч.

а) $$x=-1,\ 7$$;

б) $$-3\le x\le 2$$;

в) $$x=-9,\ -3$$;

г) $$-5\le x\le 4$$.