Упр.26.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) наименьшее значение функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) точки пересечения с осью абсцисс;
г) решение неравенства 2х^2 — 4х — 6 ? 0. Постройте график данной функции:
а) y = x^2 — 4x + 4;
б) y = 3x^2 — 18x + 27;
в) y = v(x^2 + 8x + 16);
г) y = x^2 + 10x + 25;
д) y = 8x — 4x^2 — 4;
е) y = v(x^2 — 6x + 9).
Приведём функцию к вершиной форме:
$$ y=2x^2-4x-6=2(x^2-2x-3)=2(x^2-2x+1-4)=2(x-1)^2-8. $$
Парабола $$y=2(x-1)^2-8$$ получена из графика $$y=2x^2$$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 8 единиц вниз. Ветви параболы направлены вверх, вершина имеет координаты $$ (1;\,-8) $$.
а) Наименьшее значение функции равно $$-8$$.
б) Функция убывает на $$(-\infty;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty)$$.
в) Найдём точки пересечения с осью абсцисс:
$$ 2x^2-4x-6=0 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \text{ или } x=-1. $$
Значит, точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-1;\,0)$$ и $$ (3;\,0) $$.
г) Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$ 2x^2-4x-6\le 0 $$
при $$x$$ между корнями, включая их:
$$ x\in[-1;\,3]. $$
Ответ
а) $$-8$$; б) убывает на $$(-\infty;\,1]$$, возрастает на $$[1;\,+\infty)$$; в) $$(-1;\,0)$$ и $$ (3;\,0) $$; г) $$x\in[-1;\,3]$$.
Ход решения
$$ y=x^2-4x+4=(x-2)^2. $$
График — парабола с вершиной $$ (2;\,0) $$, ветви направлены вверх.
$$ y=3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2. $$
Вершина $$ (3;\,0) $$, ветви направлены вверх.
$$ y=\sqrt{x^2+8x+16}=\sqrt{(x+4)^2}=|x+4|. $$
График — V-образная ломаная с вершиной $$(-4;\,0)$$.
$$ y=x^2+10x+25=(x+5)^2. $$
Вершина $$(-5;\,0)$$, ветви направлены вверх.
$$ y=8x-4x^2-4=-4(x^2-2x+1)=-4(x-1)^2. $$
Вершина $$ (1;\,0) $$, ветви направлены вниз.
$$ y=\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|. $$
График — V-образная ломаная с вершиной $$ (3;\,0) $$.
