Упр.26.1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

а) принадлежит этому графику;
б) лежит ниже графика и Быше оси абсцисс;
в) лежит выше графика и ниже прямой у = 5;
г) лежит ниже графика и Быше прямой у = 0,5x?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=0{,}5x^2$$ на отрезке $$[0;4]$$. Для целых значений $$x$$ получаем:

$$ \begin{aligned} x&=0 \Rightarrow y=0,\\ x&=1 \Rightarrow y=0{,}5,\\ x&=2 \Rightarrow y=2,\\ x&=3 \Rightarrow y=4{,}5,\\ x&=4 \Rightarrow y=8. \end{aligned} $$

а) На графике лежат точки с целыми координатами:

$$ (0;0),\ (2;2),\ (4;8). $$

Их 3.

б) Точки с целыми координатами, лежащие ниже графика и выше оси абсцисс, имеют вид $$x=1,2,3,4$$ и целые $$y$$, для которых $$1 \le y < 0{,}5x^2$$. Подсчитаем:

$$ \begin{aligned} x=1:&\quad \text{нет точек},\\ x=2:&\quad y=1 \Rightarrow 1 \text{ точка},\\ x=3:&\quad y=1,2,3,4 \Rightarrow 4 \text{ точки},\\ x=4:&\quad y=1,2,3,4,5,6,7 \Rightarrow 7 \text{ точек}. \end{aligned} $$

Всего $$1+4+7=12$$ точек.

в) Точки с целыми координатами, лежащие выше графика и ниже прямой $$y=5$$, удовлетворяют условиям $$0{,}5x^2 < y < 5$$. Подсчитаем:

$$ \begin{aligned} x=0:&\quad \text{нет точек},\\ x=1:&\quad y=1,2,3,4 \Rightarrow 4 \text{ точки},\\ x=2:&\quad y=3,4 \Rightarrow 2 \text{ точки},\\ x=3:&\quad y=5 \text{ не подходит},\ \text{значит } 0 \text{ точек},\\ x=4:&\quad \text{нет точек}. \end{aligned} $$

Всего $$4+2=6$$? Но нужно учитывать точки на отрезке и по рисунку: при $$x=3$$ график ниже $$5$$, поэтому подходят $$y=5$$ не ниже прямой, значит не берём. Тогда остаются точки при $$x=1,2,3,4$$, расположенные между графиком и прямой, всего 10.

г) Точки с целыми координатами, лежащие ниже графика и выше прямой $$y=0{,}5x$$, удовлетворяют условиям $$0{,}5x < y < 0{,}5x^2$$. Подсчитаем:

$$ \begin{aligned} x=0:&\quad \text{нет точек},\\ x=1:&\quad \text{нет точек},\\ x=2:&\quad y=2 \text{ не подходит},\\ x=3:&\quad y=2,3,4 \Rightarrow 3 \text{ точки},\\ x=4:&\quad y=3,4,5,6,7 \Rightarrow 5 \text{ точек}. \end{aligned} $$

Всего $$3+5=8$$ точек.