Упр.25 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) область определения и множество значений функции;
б) промежутки монотонности функции;
в) координаты центра симметрии гиперболы;
г) асимптоты гиперболы.

Функция имеет вид $$y=-\frac{6}{x+3}-2.$$

Это гипербола, полученная из графика $$y=\frac{1}{x}$$ сдвигом и изменением масштаба.

а) Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$x+3\ne 0,\quad x\ne -3.$$

Значит, область определения:

$$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,+\infty).$$

Так как дробь $$-\frac{6}{x+3}$$ не может быть равна нулю, то $$y\ne -2.$$

Следовательно, множество значений:

$$(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,+\infty).$$

б) Найдём промежутки монотонности. Производная:

$$y’=\frac{6}{(x+3)^2}.$$

Так как $$\frac{6}{(x+3)^2}>0$$ при всех $$x\ne -3,$$ функция возрастает на каждом из промежутков области определения:

$$(-\infty;\,-3)\quad \text{и}\quad (-3;\,+\infty).$$

Промежутков убывания нет.

в) Центр симметрии гиперболы — точка пересечения асимптот:

$$(-3;\,-2).$$

г) Асимптоты гиперболы:

$$x=-3,\qquad y=-2.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,+\infty),\quad (-\infty;\,-2)\cup(-2;\,+\infty).$$
б) функция возрастает на $$(-\infty;\,-3)$$ и $$(-3;\,+\infty)$$, убывания нет.
в) $$(-3;\,-2).$$
г) $$x=-3,\ y=-2.$$