Упр.25.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции. Найдите значения параметра $$p$$, при которых прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку:
   а) $$y=\frac{3x^2-3x^3}{x-1}$$;
   б) $$y=\frac{-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{3}x^2}{x-2}$$.

а) Упростим выражение:

$$y=\frac{3x^2-3x^3}{x-1}=\frac{3x^2(1-x)}{x-1}=\frac{-3x^2(x-1)}{x-1}=-3x^2,\quad x\ne 1.$$

График функции — парабола $$y=-3x^2$$ с выколотой точкой при $$x=1$$, то есть точка $$\left(1,-3\right)$$ не принадлежит графику.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

• она касается параболы в вершине: $$p=0$$;
• она проходит через выколотую точку, тогда пересечение с параболой было бы в двух точках, но одна из них исключена: $$p=-3$$.

Значит, для пункта а) $$p=-3$$ и $$p=0$$.

б) Упростим выражение:

$$y=\frac{-\frac13 x^3+\frac23 x^2}{x-2} =\frac{-\frac13 x^2(x-2)}{x-2} =-\frac13 x^2,\quad x\ne 2.$$

График функции — парабола $$y=-\frac13 x^2$$ с выколотой точкой $$\left(2,-\frac43\right)$$.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

• она касается параболы в вершине: $$p=0$$;
• она проходит через выколотую точку: $$p=-\frac43$$.

Значит, для пункта б) $$p=-\frac43$$ и $$p=0$$.

Ответ

а) $$p=-3,\ 0$$; б) $$p=-\frac43,\ 0$$.