Упр.25.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
f(x) = {-1/2 x — 7, если -5 ? x < -2; -1,5x^2, если -2 ? x < 2; x - 8, если 2 ? x ? 6}. С помощью графика определите, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р имеет: а) один корень; г) три корня; б) не более одного корня; д) два корня; в) четыре корня; е) не более двух корней.
Пусть по шоссе велосипедист ехал со скоростью $$x$$ км/ч, тогда по лесной дороге — со скоростью $$x-3$$ км/ч.
Время движения по шоссе:
$$\frac{24}{x}$$
Время движения по лесной дороге:
$$\frac{30-24}{x-3}=\frac{6}{x-3}$$
По условию весь путь занял $$2\text{ ч }40\text{ мин}=2\frac{2}{3}\text{ ч}.$$ Составим уравнение:
$$\frac{24}{x}+\frac{6}{x-3}=2\frac{2}{3}$$
$$\frac{24}{x}+\frac{6}{x-3}=\frac{8}{3}$$
Умножим обе части на $$3x(x-3)$$:
$$72(x-3)+18x-8x(x-3)=0$$
$$72x-216+18x-8x^2+24x=0$$
$$-8x^2+114x-216=0$$
$$4x^2-57x+108=0$$
Найдём корни:
$$D=57^2-4\cdot 4\cdot 108=3249-1728=1521=39^2$$
$$x=\frac{57\pm 39}{8}$$
$$x_1=\frac{57-39}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$$
$$x_2=\frac{57+39}{8}=\frac{96}{8}=12$$
Так как скорость по шоссе должна быть больше $$3$$ км/ч, значение $$x=\frac{9}{4}$$ не подходит. Значит, скорость велосипедиста по шоссе равна $$12$$ км/ч.
Для функции
$$ f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2}x-7, & -5\le x<-2,\\ -1{,}5x^2, & -2\le x<2,\\ x-8, & 2\le x\le 6 \end{cases} $$
строим график по частям:
- на отрезке $$[-5;-2)$$ — луч прямой $$y=-\frac{1}{2}x-7$$;
- на отрезке $$[-2;2)$$ — часть параболы $$y=-1{,}5x^2$$;
- на отрезке $$[2;6]$$ — отрезок прямой $$y=x-8$$.
Ключевые точки графика: $$(-5;-4{,}5)$$, $$(-2;-6)$$, $$ (0;0)$$, $$ (2;-6)$$, $$ (6;-2)$$.
По графику получаем:
- а) один корень при $$p=0$$;
- б) не более одного корня при $$p<-6$$ и $$p\ge 0$$;
- в) четыре корня при $$-6<p\le -4{,}5$$;
- г) три корня при $$-4{,}5<p\le -2$$;
- д) два корня при $$p=-6$$ и $$-2<p<0$$;
- е) не более двух корней при $$p\le -6$$ и $$p\ge -2$$.
Ответ
$$12\text{ км/ч}.$$
а) $$p=0$$; б) $$p<-6$$ или $$p\ge 0$$; в) $$-6<p\le -4{,}5$$; г) $$-4{,}5<p\le -2$$; д) $$p=-6$$ или $$-2<p<0$$; е) $$p\le -6$$ или $$p\ge -2$$.
