Упр.25.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. а) Упростим выражение:

   $$\frac{x+8}{x^2-16}:\left(\frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16}\right)$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2-16=(x-4)(x+4), \qquad x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$

   Тогда

   $$\frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16} = \frac{x-4}{(x+4)(x-1)}+\frac{16}{(x-4)(x+4)}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(x-4)^2+16(x-1)}{(x-4)(x+4)(x-1)} = \frac{x^2+8x}{(x^2-16)(x-1)} = \frac{x(x+8)}{(x^2-16)(x-1)}$$

   Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:

   $$\frac{x+8}{x^2-16}:\frac{x(x+8)}{(x^2-16)(x-1)} = \frac{x+8}{x^2-16}\cdot \frac{(x^2-16)(x-1)}{x(x+8)} = \frac{x-1}{x}$$

   б) Упростим выражение:

   $$\frac{a^3-9a}{a-9}\cdot\left(\frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9}\right)$$

   Разложим на множители:

   $$a^3-9a=a(a^2-9)=a(a-3)(a+3), \qquad a^2+2a-3=(a+3)(a-1), \qquad a^2-9=(a-3)(a+3)$$

   Тогда

   $$\frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-1)}-\frac{9}{(a-3)(a+3)}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(a+3)(a-3)-9(a-1)}{(a-3)(a+3)(a-1)} = \frac{a^2-9-9a+9}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a^2-9a}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)}$$

   Теперь умножим:

   $$\frac{a^3-9a}{a-9}\cdot \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a(a^2-9)}{a-9}\cdot \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a^2}{a-1}$$

2. а) Найдём, при каких значениях $$x$$ прямая $$y=2x-4$$ расположена ниже параболы $$y=-2x^2$$:

   $$2x-4<-2x^2$$

   $$2x^2+2x-4<0$$

   $$x^2+x-2<0$$

   $$(x+2)(x-1)<0$$

   Произведение отрицательно между корнями:

   $$-2<x<1$$

   б) Найдём, при каких значениях $$x$$ прямая $$y=-\frac12 x$$ расположена выше параболы $$y=-\frac12 x^2$$:

   $$-\frac12 x>-\frac12 x^2$$

   Умножим на $$-2$$, изменив знак неравенства:

   $$x<x^2$$

   $$x^2-x>0$$

   $$x(x-1)>0$$

   Произведение положительно при $$x<0$$ или $$x>1$$.

Ответ

а) $$\frac{x-1}{x}$$;
б) $$\frac{a^2}{a-1}$$;
а) $$-2<x<1$$;
б) $$x<0$$ или $$x>1$$.