Упр.25.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) (x + 8)/(x^2 — 16) : ((x — 4)/(x^2 + 3x — 4) + 16/(x^2 — 16));
б) (a^3 — 9a)/(a — 9) · ((a + 3)/(a^2 + 2a — 3) — 9/(a^2 — 9)). а) При каких значениях х прямая у = 2х — 4 расположена ниже параболы у = —2х^2?
б) При каких значениях х прямая у = -1/2 х расположена выше параболы у = -1/2 х^2?
а) Упростим выражение:
$$\frac{x+8}{x^2-16}:\left(\frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16}\right)$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-16=(x-4)(x+4), \qquad x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$
Тогда
$$ \frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16} = \frac{x-4}{(x+4)(x-1)}+\frac{16}{(x-4)(x+4)} $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x-4)^2+16(x-1)}{(x-4)(x+4)(x-1)} = \frac{x^2+8x}{(x^2-16)(x-1)} = \frac{x(x+8)}{(x^2-16)(x-1)} $$
Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:
$$ \frac{x+8}{x^2-16}:\frac{x(x+8)}{(x^2-16)(x-1)} = \frac{x+8}{x^2-16}\cdot \frac{(x^2-16)(x-1)}{x(x+8)} = \frac{x-1}{x} $$
б) Упростим выражение:
$$\frac{a^3-9a}{a-9}\cdot\left(\frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9}\right)$$
Разложим на множители:
$$ a^3-9a=a(a^2-9)=a(a-3)(a+3), \qquad a^2+2a-3=(a+3)(a-1), \qquad a^2-9=(a-3)(a+3) $$
Тогда
$$ \frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9} = \frac{a+3}{(a+3)(a-1)}-\frac{9}{(a-3)(a+3)} $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(a+3)(a-3)-9(a-1)}{(a-3)(a+3)(a-1)} = \frac{a^2-9-9a+9}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a^2-9a}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)} $$
Теперь умножим:
$$ \frac{a^3-9a}{a-9}\cdot \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a(a^2-9)}{a-9}\cdot \frac{a(a-9)}{(a^2-9)(a-1)} = \frac{a^2}{a-1} $$
а) Найдём, при каких значениях $$x$$ прямая $$y=2x-4$$ расположена ниже параболы $$y=-2x^2$$:
$$ 2x-4<-2x^2 $$
$$ 2x^2+2x-4<0 $$
$$ x^2+x-2<0 $$
$$ (x+2)(x-1)<0 $$
Произведение отрицательно между корнями:
$$ -2<x<1 $$
б) Найдём, при каких значениях $$x$$ прямая $$y=-\frac12 x$$ расположена выше параболы $$y=-\frac12 x^2$$:
$$ -\frac12 x>-\frac12 x^2 $$
Умножим на $$-2$$, изменив знак неравенства:
$$ x<x^2 $$
$$ x^2-x>0 $$
$$ x(x-1)>0 $$
Произведение положительно при $$x<0$$ или $$x>1$$.
Ответ
а) $$\frac{x-1}{x}$$;
б) $$\frac{a^2}{a-1}$$;
а) $$-2<x<1$$;
б) $$x<0$$ или $$x>1$$.
