Упр.24.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$, если известно, что точка $$A(1; -2)$$ является вершиной параболы $$y=ax^2+bx+c$$ и что парабола пересекает ось ординат в точке $$B(0; 2)$$.

Так как точка $$B(0;2)$$ лежит на параболе $$y=ax^2+bx+c,$$ то при $$x=0$$ получаем:

$$2=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c,$$

откуда $$c=2.$$

Точка $$A(1;-2)$$ — вершина параболы, значит её абсцисса равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=1,$$

следовательно,

$$b=-2a.$$

Подставим координаты точки $$A(1;-2)$$ в уравнение параболы:

$$-2=a\cdot 1^2+b\cdot 1+2,$$

$$a+b=-4.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=-4,\\ b=-2a. \end{cases}$$

Подставим $$b=-2a$$ в первое уравнение:

$$a-2a=-4,$$

$$-a=-4,$$

$$a=4.$$

Тогда

$$b=-2\cdot 4=-8.$$

Итак, $$a=4,\quad b=-8,\quad c=2.$$

Ответ

$$a=4,\ b=-8,\ c=2.$$