Упр.24.47 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

а) Используя графики функций $$y=x^2-2x-1$$ и $$y=-\frac{2}{x}$$, определите, при каких значениях $$x$$ выполняется неравенство: $$x^2-2x-1<-\frac{2}{x}$$

б) Используя графики функций $$y=-x^2+6x-3$$ и $$y=\frac{6}{x-2}$$, определите, при каких значениях $$x$$ выполняется неравенство: $$-x^2+6x-3>\frac{6}{x-2}$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$x^2-2x-1<-\frac{2}{x}.$$

По графикам видно, что парабола $$y=x^2-2x-1$$ и гипербола $$y=-\frac{2}{x}$$ пересекаются в точках с абсциссами $$x=-1$$ и $$x=1$$. Между этими точками график параболы расположен ниже графика гиперболы, а при $$x=0$$ функция $$-\frac{2}{x}$$ не определена.

Следовательно,

$$x\in(-\infty,-1)\cup(0,1).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$-x^2+6x-3>\frac{6}{x-2}.$$

Графики функций $$y=-x^2+6x-3$$ и $$y=\frac{6}{x-2}$$ пересекаются в точках с абсциссами $$x=0$$, $$x=2$$ и $$x=5$$. С учётом разрыва при $$x=2$$ и по расположению графиков получаем, что неравенство выполняется на промежутках

$$x\in(0,2)\cup(3,5).$$