Упр.24.46 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

-2/x, если x < -1; 4-3x2, если -1 < =x < =1; |x-2|, если x > =1.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -\dfrac{2}{x}, & x<-1,\\ 4-3x^2, & -1\le x\le 1,\\ |x-2|, & x>1. \end{cases} $$

Найдём область определения. Для первой части нужно $$x\ne 0$$, но здесь $$x<-1$$, значит ограничений нет. Вторая и третья части определены при всех указанных значениях $$x$$. Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём область значений.

• При $$x<-1$$: $$y=-\dfrac{2}{x}$$, и так как $$x<0$$, то $$y>0$$. При $$x\to -\infty$$ получаем $$y\to 0+$$, а при $$x\to -1-$$ получаем $$y\to 2-$$. Значит, здесь $$y\in(0;2).$$
• При $$-1\le x\le 1$$: $$y=4-3x^2$$. Наибольшее значение равно $$4$$ при $$x=0$$, наименьшее равно $$1$$ при $$x=\pm1$$. Значит, здесь $$y\in[1;4].$$
• При $$x>1$$: $$y=|x-2|$$. Минимум равен $$0$$ при $$x=2$$, а сверху значения не ограничены. Значит, здесь $$y\in[0;+\infty).$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$E(y)=[0;+\infty).$$

Исследуем монотонность.

• На $$(-\infty;-1)$$ функция $$y=-\dfrac{2}{x}$$ возрастает.
• На $$[-1;0]$$ функция $$y=4-3x^2$$ возрастает, а на $$[0;1]$$ убывает.
• На $$[1;2]$$ функция $$y=|x-2|=2-x$$ убывает.
• На $$[2;+\infty)$$ функция $$y=|x-2|=x-2$$ возрастает.

Значит, функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и $$x\in[2;+\infty)$$, убывает при $$x\in[0;2]$$.

Нули функции найдём из равенства $$y=0$$.

• При $$x<-1$$: $$-\dfrac{2}{x}=0$$ — решений нет.
• При $$-1\le x\le 1$$: $$4-3x^2=0 \Rightarrow x^2=\dfrac{4}{3}$$, но таких значений в этом промежутке нет.
• При $$x>1$$: $$|x-2|=0 \Rightarrow x=2.$$

Следовательно, $$y=0$$ при $$x=2$$.

Так как область значений функции начинается с нуля, то положительных значений она принимает при всех $$x$$, кроме точки $$x=2$$.

Ответ: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),$$ функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и $$x\in[2;+\infty),$$ убывает при $$x\in[0;2],$$ $$y=0$$ при $$x=2.$$