Упр.24.44 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

-3×2+6x+4, если 0 < =x < =2; 4/x, если 2 < x > =4.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -3x^2+6x+4, & 0\le x\le 2,\\ \dfrac{4}{x}, & 2<x\le 4. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть.

1) На отрезке $$0\le x\le 2$$ имеем параболу $$y=-3x^2+6x+4$$, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину:

$$ x_0=\frac{-6}{2\cdot(-3)}=1,\qquad y_0=-3\cdot 1^2+6\cdot 1+4=7. $$

Значит, на этом промежутке наибольшее значение равно $$7$$, а наименьшее — $$4$$, так как

$$ y(0)=4,\qquad y(2)=-12+12+4=4. $$

2) На промежутке $$2<x\le 4$$ функция $$y=\dfrac{4}{x}$$ убывает. При $$x\to 2+$$ значения стремятся к $$2$$, но точка $$x=2$$ не входит в область определения этой части, а при $$x=4$$ получаем

$$ y(4)=1. $$

Следовательно, на этом промежутке значения лежат в пределах $$1\le y<2$$.

Объединяя результаты, получаем:

• область определения: $$[0;4]$$;
• область значений: $$[1;7]$$;
• функция ограниченная;
• функция возрастает при $$x\in[0;1]$$ и убывает при $$x\in[1;4]$$;
• $$y=0$$ не принимает;
• $$y>0$$ при всех $$x\in[0;4]$$;
• $$y<0$$ не принимает;
• наименьшее значение $$y_{\min}=1$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=7$$.

Ответ

$$D(y)=[0;4],\quad E(y)=[1;7].$$
Функция ограниченная, возрастает при $$x\in[0;1]$$ и убывает при $$x\in[1;4]$$.
$$y=0$$ и $$y<0$$ не принимает, $$y>0$$ при всех $$x\in[0;4]$$.
$$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=7.$$