Упр.24.43 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} 2x^2+4x+1, & x\le 1,\\ -3(x-2)^2, & 1<x\le 3. \end{cases}$$

1) Для первой ветви:

$$y=2x^2+4x+1=2(x+1)^2-1.$$

Это парабола с ветвями вверх. Вершина:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1,\qquad y_0=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+1=-1.$$

Значит, на промежутке $$x\le 1$$ эта ветвь определена при всех $$x\in(-\infty;1]$$, а наименьшее значение на ней равно $$-1$$.

2) Для второй ветви:

$$y=-3(x-2)^2.$$

Это парабола с ветвями вниз. Вершина:

$$x_0=2,\qquad y_0=0.$$

На промежутке $$1<x\le 3$$ значения этой ветви не превосходят $$0$$, а наименьшее значение достигается при $$x=3$$:

$$y=-3(3-2)^2=-3.$$

Следовательно, область определения всей функции:

$$D(y)=(-\infty;3].$$

Область значений: первая ветвь даёт все значения $$y\ge -1$$, вторая — значения от $$-3$$ до $$0$$. Поэтому

$$E(y)=[-3;+\infty).$$

Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;1]$$, затем на $$[1;2]$$ возрастает, а на $$[2;3]$$ убывает.

Нули функции найдём из уравнений:

$$2x^2+4x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4}=-1\pm\frac{\sqrt2}{2},$$

$$-3(x-2)^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$

Значит, $$y=0$$ при $$x=-1-\frac{\sqrt2}{2},\; x=-1+\frac{\sqrt2}{2},\; x=2.$$

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\,-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-1+\frac{\sqrt2}{2};\,1\right],$$

$$y<0 \text{ при } x\in\left(-1-\frac{\sqrt2}{2};\,-1+\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup(1;2)\cup(2;3].$$

Ответ

$$D(y)=(-\infty;3],\qquad E(y)=[-3;+\infty).$$

$$y=0 \text{ при } x=-1-\frac{\sqrt2}{2},\; -1+\frac{\sqrt2}{2},\; 2.$$

$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\,-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-1+\frac{\sqrt2}{2};\,1\right],$$

$$y<0 \text{ при } x\in\left(-1-\frac{\sqrt2}{2};\,-1+\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup(1;2)\cup(2;3].$$