Упр.24.43 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

2×2+4x+1, если x < =1; -3(x-2)2, если 1 < x > =3.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} 2x^2+4x+1, & x\le 1,\\ -3(x-2)^2, & 1<x\le 3. \end{cases} $$

1) Для первой ветви:

$$ y=2x^2+4x+1=2(x+1)^2-1. $$

Это парабола с ветвями вверх. Вершина:

$$ x_0=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1,\qquad y_0=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+1=-1. $$

Значит, на промежутке $$x\le 1$$ эта ветвь определена при всех $$x\in(-\infty;1]$$, а наименьшее значение на ней равно $$-1$$.

2) Для второй ветви:

$$ y=-3(x-2)^2. $$

Это парабола с ветвями вниз. Вершина:

$$ x_0=2,\qquad y_0=0. $$

На промежутке $$1<x\le 3$$ значения этой ветви не превосходят $$0$$, а наименьшее значение достигается при $$x=3$$:

$$ y=-3(3-2)^2=-3. $$

Следовательно, область определения всей функции:

$$ D(y)=(-\infty;3]. $$

Область значений: первая ветвь даёт все значения $$y\ge -1$$, вторая — значения от $$-3$$ до $$0$$. Поэтому

$$ E(y)=[-3;+\infty). $$

Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;1]$$, затем на $$[1;2]$$ возрастает, а на $$[2;3]$$ убывает.

Нули функции найдём из уравнений:

$$ 2x^2+4x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4}=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}, $$

$$ -3(x-2)^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2. $$

Значит, $$y=0$$ при $$x=-1-\frac{\sqrt2}{2},\; x=-1+\frac{\sqrt2}{2},\; x=2.$$

Знак функции:

$$ y>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\,-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-1+\frac{\sqrt2}{2};\,1\right], $$

$$ y<0 \text{ при } x\in\left(-1-\frac{\sqrt2}{2};\,-1+\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup(1;2)\cup(2;3]. $$

Ответ

$$ D(y)=(-\infty;3],\qquad E(y)=[-3;+\infty). $$

$$ y=0 \text{ при } x=-1-\frac{\sqrt2}{2},\; -1+\frac{\sqrt2}{2},\; 2. $$

$$ y>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\,-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-1+\frac{\sqrt2}{2};\,1\right], $$

$$ y<0 \text{ при } x\in\left(-1-\frac{\sqrt2}{2};\,-1+\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup(1;2)\cup(2;3]. $$