Упр.24.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

x+1, если x < 0; -x2+2x+3, если x > =0.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ -x^2+2x+3, & x\ge 0. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x<0$$ имеем линейную функцию $$y=x+1$$. Это прямая с угловым коэффициентом $$1$$, но берётся только её часть при $$x<0$$. В точке $$x=0$$ значение этой формулы равно $$1$$, но точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, так как $$x<0$$.

2) При $$x\ge 0$$ имеем параболу $$y=-x^2+2x+3$$, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину:

$$ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1, $$

$$ y_0=-1^2+2\cdot1+3=4. $$

Значит, вершина параболы — $$\left(1;4\right)$$, и это наибольшее значение функции.

Найдём нули функции:

$$ -x^2+2x+3=0 $$

$$ x^2-2x-3=0 $$

$$ (x-3)(x+1)=0 $$

$$ x=3 \text{ или } x=-1. $$

С учётом области определения второй части $$x\ge 0$$ подходит только $$x=3$$. Для первой части при $$x<0$$ получаем $$x+1=0$$, значит $$x=-1$$.

Определим промежутки знакопостоянства:

$$ y>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup[0;3), $$

то есть в целом

$$ y>0 \text{ при } x\in(-1;3). $$

А отрицательна функция при

$$ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty). $$

Область определения — все действительные числа:

$$ D(y)=(-\infty;+\infty). $$

Область значений: левая часть даёт все значения меньше $$1$$, правая часть — значения не выше $$4$$, поэтому

$$ E(y)=(-\infty;4]. $$

Функция ограничена сверху числом $$4$$, но снизу не ограничена. Наибольшее значение равно $$4$$, наименьшего значения нет.

Ответ

$$ D(y)=(-\infty;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;4]. $$

$$ y>0 \text{ при } x\in(-1;3),\quad y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty). $$

$$ y_{\max}=4,\quad y_{\min}\text{ не существует}. $$