Упр.24.41 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

22. 41. Постройте и прочитайте график функции:
    $$y = \begin{cases} 2x^2+4x-1, & -2 \leq x \leq 0,\\ x-1, & x>0. \end{cases}$$

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} 2x^2+4x-1, & -2\le x\le 0,\\ x-1, & x>0. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) На отрезке $$-2\le x\le 0$$ имеем параболу $$y=2x^2+4x-1$$, ветви которой направлены вверх.

Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1,$$
$$y_0=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-1=2-4-1=-3.$$

Значит, вершина параболы — $$(-1;\,-3)$$.

Концы этого участка:

$$y(-2)=2\cdot 4+4\cdot(-2)-1=-1,$$
$$y(0)=-1.$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;0]$$ строим дугу параболы через точки $$(-2;\,-1)$$, $$(-1;\,-3)$$, $$(0;\,-1)$$.

2) При $$x>0$$ график задаёт прямая $$y=x-1$$. Она проходит через точку $$(1;\,0)$$ и при $$x=0$$ даёт значение $$-1$$, но точка $$(0;\,-1)$$ не входит в этот участок, так как $$x>0$$.

Итак, график состоит из части параболы на $$[-2;0]$$ и луча прямой $$y=x-1$$ при $$x>0$$.

Область определения:

$$D(y)=[-2;+\infty).$$

Область значений: наименьшее значение равно $$-3$$, а сверху функция не ограничена.

$$E(y)=[-3;+\infty).$$

Функция убывает при $$x\in[-2;-1]$$ и возрастает при $$x\in[-1;+\infty)$$.

Нуль функции находим из уравнения $$x-1=0$$:

$$x=1.$$

Значит, $$y>0$$ при $$x\in(1;+\infty)$$, а $$y<0$$ при $$x\in[-2;1)$$.

Ответ

График: парабола $$y=2x^2+4x-1$$ на $$[-2;0]$$ с вершиной $$(-1;\,-3)$$ и луч прямой $$y=x-1$$ при $$x>0$$.
$$D(y)=[-2;+\infty),\quad E(y)=[-3;+\infty).$$
Функция убывает на $$[-2;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
$$y=0$$ при $$x=1$$.