Упр.24.40 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Определите число решений системы уравнений:
   а) $$\begin{cases} y=-x^2+6x-4,\\ 2x-y+3=0; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} y=3x^2-6x-4,\\ y-2x-4=0; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} y=-x^2-2x+4,\\ x-2y=0; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} y=2x^2+8x^2+6,\\ 3x-2y+1=0. \end{cases}$$

1. а) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=-x^2+6x-4,\\ 2x-y+3=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем

   $$y=2x+3.$$

   Тогда нужно найти точки пересечения параболы $$y=-x^2+6x-4$$ и прямой $$y=2x+3$$. Подставим:

   $$-x^2+6x-4=2x+3$$

   $$x^2-4x+7=0$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 7=16-28=-12<0.$$

   Действительных корней нет, значит, система не имеет решений.

2. б) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=3x^2-6x-4,\\ y-2x-4=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем

   $$y=2x+4.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$3x^2-6x-4=2x+4$$

   $$3x^2-8x-8=0$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=64+96=160>0.$$

   Уравнение имеет два действительных корня, значит, система имеет два решения.

3. в) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=-x^2-2x+4,\\ x-2y=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем

   $$y=\frac{x}{2}.$$

   Подставим:

   $$-x^2-2x+4=\frac{x}{2}$$

   $$-2x^2-4x+8=x$$

   $$2x^2+5x-8=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-8)=25+64=89>0.$$

   Следовательно, система имеет два решения.

4. г) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=2x^2+8x+6,\\ 3x-2y+1=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем

   $$y=\frac{3x+1}{2}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2x^2+8x+6=\frac{3x+1}{2}$$

   $$4x^2+16x+12=3x+1$$

   $$4x^2+13x+11=0$$

   $$D=13^2-4\cdot 4\cdot 11=169-176=-7<0.$$

   Действительных корней нет, значит, система не имеет решений.

Ответ

а) решений нет; б) два решения; в) два решения; г) решений нет.