Упр.24.40 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

а) система
y=-x2+6x-4,
2x-y+3=0;
б) система
y=3×2-6x-4,
y-2x-4=0;
в) система
y=-x2-2x+4,
x-2y=0;
г) система
y=2×2+8×2+6,
3x-2y+1=0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=-x^2+6x-4,\\ 2x-y+3=0 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$y=2x+3.$$
Тогда нужно найти точки пересечения параболы $$y=-x^2+6x-4$$ и прямой $$y=2x+3$$. Подставим:
$$ -x^2+6x-4=2x+3 $$
$$ x^2-4x+7=0 $$
$$ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 7=16-28=-12<0. $$
Действительных корней нет, значит, система не имеет решений.
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=3x^2-6x-4,\\ y-2x-4=0 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$y=2x+4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ 3x^2-6x-4=2x+4 $$
$$ 3x^2-8x-8=0 $$
$$ D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=64+96=160>0. $$
Уравнение имеет два действительных корня, значит, система имеет два решения.
в) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=-x^2-2x+4,\\ x-2y=0 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$y=\frac{x}{2}.$$
Подставим:
$$ -x^2-2x+4=\frac{x}{2} $$
$$ -2x^2-4x+8=x $$
$$ 2x^2+5x-8=0 $$
$$ D=5^2-4\cdot 2\cdot(-8)=25+64=89>0. $$
Следовательно, система имеет два решения.
г) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y=2x^2+8x+6,\\ 3x-2y+1=0 \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$ y=\frac{3x+1}{2}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2x^2+8x+6=\frac{3x+1}{2} $$
$$ 4x^2+16x+12=3x+1 $$
$$ 4x^2+13x+11=0 $$
$$ D=13^2-4\cdot 4\cdot 11=169-176=-7<0. $$
Действительных корней нет, значит, система не имеет решений.