Упр.24.26 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Определите число решений системы уравнений:
   
   а) $$\begin{cases} y=2x^2-6x+1, \\ y=3; \end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases} y=x^2-2x, \\ 2x-3y=0; \end{cases}$$
   
   в) $$\begin{cases} y=-3x^2+12x-5, \\ y=-5; \end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases} y=-4x^2+4x+2, \\ 3x-2y=0. \end{cases}$$

1. а) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=2x^2-6x+1,\\ y=3. \end{cases}$$

   График функции $$y=2x^2-6x+1$$ — парабола, ветви направлены вверх. Найдём вершину:

   $$x_0=\frac{-(-6)}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=1{,}5,$$

   $$y_0=2\cdot 1{,}5^2-6\cdot 1{,}5+1=4{,}5-9+1=-3{,}5.$$

   Прямая $$y=3$$ пересекает параболу в двух точках, значит система имеет два решения.

2. б) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=x^2-2x,\\ 2x-3y=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y=\frac{2x}{3}.$$

   Тогда нужно найти точки пересечения параболы и прямой. Парабола $$y=x^2-2x$$ имеет вершину:

   $$x_0=\frac{2}{2}=1,\qquad y_0=1-2=-1.$$

   Прямая пересекает параболу в двух точках, значит система имеет два решения.

3. в) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=-3x^2+12x-5,\\ y=-5. \end{cases}$$

   Парабола $$y=-3x^2+12x-5$$ направлена ветвями вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=\frac{-12}{2\cdot(-3)}=2,$$

   $$y_0=-3\cdot 2^2+12\cdot 2-5=-12+24-5=7.$$

   Прямая $$y=-5$$ пересекает параболу в двух точках, значит система имеет два решения.

4. г) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=-4x^2+4x+2,\\ 3x-2y=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y=\frac{3x}{2}.$$

   Парабола $$y=-4x^2+4x+2$$ направлена ветвями вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-4)}=0{,}5,$$

   $$y_0=-4\cdot 0{,}5^2+4\cdot 0{,}5+2=-1+2+2=3.$$

   Прямая пересекает параболу в двух точках, значит система имеет два решения.

Ответ

а) два решения; б) два решения; в) два решения; г) два решения.