Упр.24.21 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график данной функции и найдите значения параметра $$p$$, при которых прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку: а) $$y=\frac{3x^2-3x^2}{x-1}$$; б) $$y=\frac{\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{3}x^2}{x+2}$$.

а)

$$y=\frac{3x^3-3x^2}{x-1}=\frac{3x^2(x-1)}{x-1}=3x^2,\qquad x\ne 1.$$

График функции — парабола $$y=3x^2$$ с выколотой точкой $$\left(1;3\right)$$.

Прямая $$y=p$$ имеет с этим графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

$$p=0$$
— прямая касается параболы в вершине;
$$p=3$$
— на уровне $$y=3$$ одна точка графика выколота, поэтому остаётся только одна общая точка.

б)

$$y=\frac{\frac13 x^3+\frac23 x^2}{x+2} =\frac{\frac13 x^2(x+2)}{x+2} =\frac13 x^2,\qquad x\ne -2.$$

График функции — парабола $$y=\frac13 x^2$$ с выколотой точкой $$\left(-2;\frac43\right)$$.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку при:

$$p=0$$
— касание в вершине;
$$p=\frac43$$
— одна точка параболы выколота, поэтому остаётся одна общая точка.

Ответ

а) $$p=0,\ 3$$;
б) $$p=0,\ \frac43$$.