Упр.24.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {x + 4, если -4 ? x ? -1; 2x^2, если -1 < x < 1; -x + 3, если 1 ? x ? 3}. С помощью графика установите, при каких значениях параметра р уравнение f(х) = р имеет: а) один корень; г) три корня; б) не более одного корня; д) два корня; в) четыре корня; е) не более двух корней.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x+4, & -4\le x\le -1,\\ 2x^2, & -1<x<1,\\ -x+3, & 1\le x\le 3. \end{cases} $$

Построим её график по частям.

• На отрезке $$[-4;-1]$$ это отрезок прямой $$y=x+4$$ с концами $$(-4;0)$$ и $$(-1;3)$$.
• На интервале $$(-1;1)$$ это часть параболы $$y=2x^2$$, проходящая через точки $$(-1;2)$$, $$ (0;0)$$, $$ (1;2)$$; точки при $$x=-1$$ и $$x=1$$ не входят.
• На отрезке $$[1;3]$$ это отрезок прямой $$y=-x+3$$ с концами $$ (1;2)$$ и $$ (3;0)$$.

Теперь рассмотрим, сколько корней имеет уравнение $$f(x)=p$$, то есть сколько раз горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции.

• Если $$2<p\le 3$$, прямая пересекает график только один раз на первом отрезке.
• Если $$p>2$$ или $$p<0$$, пересечений нет или не более одного, значит корней не более одного.
• Если $$0<p<2$$, прямая пересекает график четыре раза: два раза на параболе и по одному разу на каждом линейном участке.
• Если $$p=0$$, получаем три корня: $$x=-4$$, $$x=0$$, $$x=3$$.
• Если $$p=2$$, получаем два корня: $$x=-2$$ и $$x=1$$ (точка $$x=-1$$ для параболы не входит, а для правого отрезка входит).

Ответ

а) $$2<p\le 3$$;
б) $$p<0$$ или $$p>2$$;
в) $$0<p<2$$;
г) $$p=0$$;
д) $$p=2$$;
е) $$p<0$$ или $$p\ge 2$$.