Упр.24.19 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) значение функции при х = -2; 0; 3;
б) значения аргумента, если у = -10; 6; 0;
в) наибольшее значение функции;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.

Функция $$y=-2x^2+4x+6$$ — квадратичная, её график — парабола, ветви направлены вниз, так как $$a=-2<0$$.

Найдём вершину параболы:

$$ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=1, $$
$$ y_0=-2\cdot1^2+4\cdot1+6=8. $$

Значит, вершина параболы — $$ (1;8) $$, а наибольшее значение функции равно $$8$$.

Найдём значения функции при заданных $$x$$:

$$ x=-2 \Rightarrow y=-2\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)+6=-8-8+6=-10, $$
$$ x=0 \Rightarrow y=6, $$
$$ x=3 \Rightarrow y=-2\cdot9+12+6=0. $$

Найдём значения аргумента при заданных $$y$$:

$$ -2x^2+4x+6=-10 $$
$$ -2x^2+4x+16=0 $$
$$ x^2-2x-8=0 $$
$$ (x-4)(x+2)=0 $$
$$ x=-2 \text{ или } x=4. $$

$$ -2x^2+4x+6=6 $$
$$ -2x^2+4x=0 $$
$$ -2x(x-2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=2. $$

$$ -2x^2+4x+6=0 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=-1 \text{ или } x=3. $$

Так как парабола направлена вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё.

Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;1]$$ и убывает при $$x\in[1;+\infty)$$.

Для знаков функции:

$$y>0$$ между корнями $$x=-1$$ и $$x=3$$, то есть при $$x\in(-1;3)$$.

$$y<0$$ вне корней, то есть при $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$$.

Ответ

а) $$y(-2)=-10$$, $$y(0)=6$$, $$y(3)=0$$;
б) при $$y=-10$$: $$x=-2$$ и $$x=4$$; при $$y=6$$: $$x=0$$ и $$x=2$$; при $$y=0$$: $$x=-1$$ и $$x=3$$;
в) $$y_{\max}=8$$;
г) возрастает при $$x\in(-\infty;1]$$, убывает при $$x\in[1;+\infty)$$;
д) $$y>0$$ при $$x\in(-1;3)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$$.