Упр.24.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где
   $$f(x)=\begin{cases} 0{,}5x^2, & \text{если } -4\leq x<0,\\ \sqrt{x}, & \text{если } 0\leq x\leq 4. \end{cases}$$
   
   а) Найдите $$f(-4),\ f(-3),\ f(0),\ f(2),\ f(4),\ f(5)$$.
   
   б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
   
   в) Найдите значения $$x$$, если $$f(x)=2$$, $$f(x)=0$$, $$f(x)=-2$$.
   
   г) Перечислите свойства функции.

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 0{,}5x^2, & -4\le x<0,\\ \sqrt{x}, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-4)=0{,}5\cdot(-4)^2=0{,}5\cdot16=8;$$

$$f(-3)=0{,}5\cdot(-3)^2=0{,}5\cdot9=4{,}5;$$

$$f(0)=\sqrt{0}=0;$$

$$f(2)=\sqrt{2};$$

$$f(4)=\sqrt{4}=2.$$

Так как $$5\notin[-4;4],$$ то $$f(5)$$ не существует.

б) Построим график функции. На отрезке $$[-4;0)$$ это часть параболы $$y=0{,}5x^2$$, а на отрезке $$[0;4]$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.

Для построения удобно отметить точки:

$$(-4;8),\;(-2;2),\;(0;0)$$

и

$$(0;0),\;(1;1),\;(4;2).$$

в) Решим уравнения:

$$f(x)=2$$
при $$x=-2$$ и $$x=4$$;

$$f(x)=0$$
при $$x=0$$;

$$f(x)=-2$$
решений не имеет, так как значения функции неотрицательны.

г) Перечислим свойства функции:

• область определения: $$[-4;4]$$;
• область значений: $$[0;8]$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in[-4;0)\cup(0;4]$$;
• функция убывает на $$[-4;0]$$;
• функция возрастает на $$[0;4]$$;
• наибольшее значение: $$8$$;
• наименьшее значение: $$0$$;
• функция непрерывна;
• функция выпукла вниз на $$[-4;0]$$ и выпукла вверх на $$[0;4]$$;
• функция ограничена сверху и снизу.

Ответ

а) $$f(-4)=8,\; f(-3)=4{,}5,\; f(0)=0,\; f(2)=\sqrt{2},\; f(4)=2,\; f(5)$$ не существует.

в) $$f(x)=2$$ при $$x=-2$$ и $$x=4$$; $$f(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f(x)=-2$$ решений не имеет.

г) $$D(f)=[-4;4],\; E(f)=[0;8].$$