Упр.24.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=3x^2-12x+1$$: а) на отрезке $$[1;4]$$; б) на полуинтервале $$(1;4]$$; в) на отрезке $$[0;4]$$; г) на полуинтервале $$[0;4)$$.

Функция $$y=3x^2-12x+1$$ — парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{2\cdot 3}=2.$$

Найдём ординату вершины:

$$y_0=3\cdot 2^2-12\cdot 2+1=12-24+1=-11.$$

Значит, вершина параболы — $$\left(2;\,-11\right)$$, и наименьшее значение функции равно $$-11$$.

Для наибольшего значения проверим концы заданных промежутков.

1. На отрезке $$[1;4]$$:

   $$y(1)=3\cdot 1^2-12\cdot 1+1=3-12+1=-8,$$

   $$y(4)=3\cdot 4^2-12\cdot 4+1=48-48+1=1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-11,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На полуинтервале $$\left(1;4\right]$$:

   точка $$x=2$$ входит в промежуток, значит $$y_{\min}=-11.$$

   Наибольшее значение достигается при $$x=4$$:

   $$y_{\max}=1.$$

3. На отрезке $$[0;4]$$:

   $$y(0)=1,\quad y(4)=1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-11,$$ $$y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$[0;4)$$:

   точка $$x=2$$ входит в промежуток, значит $$y_{\min}=-11.$$

   Значение $$y=1$$ при $$x=4$$ не достигается, но при $$x=0$$ имеем $$y(0)=1,$$ значит $$y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-11,\ y_{\max}=1$$;

б) $$y_{\min}=-11,\ y_{\max}=1$$;

в) $$y_{\min}=-11,\ y_{\max}=1$$;

г) $$y_{\min}=-11,\ y_{\max}=1$$.