Упр.24.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Дана функция у = f(x), где f(х) = {3x^2, если -1 ? x < 0; 3, если 1 ? x ? 6}. а) Найдите f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(6). б) Постройте график функции у = f(x). в) Перечислите свойства функции.
Пусть первоначальная скорость автобуса равна $$x$$ км/ч, тогда после увеличения она стала $$x+5$$ км/ч.
За 2 ч автобус прошёл $$2x$$ км, значит, осталось проехать $$260-2x$$ км.
Если бы он ехал дальше с первоначальной скоростью, то на оставшийся путь затратил бы $$\frac{260-2x}{x}$$ ч.
Если ехал бы с увеличенной скоростью, то затратил бы $$\frac{260-2x}{x+5}$$ ч.
По условию, при увеличении скорости автобус прибыл бы на 30 мин раньше, то есть на $$\frac12$$ ч:
$$ \frac{260-2x}{x}-\frac{260-2x}{x+5}=\frac12 $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ 2(260-2x)(x+5)-2x(260-2x)-x(x+5)=0 $$
$$ 520x+2600-4x^2-20x-520x+4x^2-x^2-5x=0 $$
$$ -x^2-25x+2600=0 $$
$$ x^2+25x-2600=0 $$
Найдём корни:
$$ D=25^2+4\cdot2600=625+10400=11025=105^2 $$
$$ x=\frac{-25\pm105}{2} $$
$$ x_1=-65,\quad x_2=40 $$
Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=40$$.
Для функции $$y=f(x)$$, где
$$ f(x)= \begin{cases} 3x^2, & -1\le x<1,\\ 3, & 1\le x\le 6, \end{cases} $$
а) Значения функции:
$$ f(-2)\text{ не существует},\quad f(-1)=3,\quad f(0)=0,\quad f(1)=3,\quad f(6)=3 $$
б) График состоит из части параболы $$y=3x^2$$ при $$-1\le x<1$$ и отрезка прямой $$y=3$$ при $$1\le x\le 6$$.
Точки $$(-1;3)$$ и $$\left(1;3\right)$$ — закрашенные, точка $$\left(1;3\right)$$ принадлежит обоим кускам графика.
в) Свойства функции:
- область определения: $$[-1;6]$$;
- область значений: $$[0;3]$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in[-1;0)\cup(0;6]$$;
- убывает на $$[-1;0]$$;
- возрастает на $$[0;1]$$;
- постоянна на $$[1;6]$$;
- функция ограничена сверху и снизу;
- функция непрерывна на каждом из промежутков $$[-1;1)$$ и $$[1;6]$$.
Ответ
$$40\text{ км/ч}$$; $$f(-2)$$ не существует, $$f(-1)=3$$, $$f(0)=0$$, $$f(1)=3$$, $$f(6)=3$$; область определения $$[-1;6]$$, область значений $$[0;3]$$.
