Упр.24.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1; 5];
б) решение уравнения v(x + 4) = 0,5x + 2.
Решите неравенство, используя графики данных функций:
а) 1/3 x^2 < x, y = 1/3 x^2 и y = x; б) 1/4 x^2 ? -0,5x + 2, y = 1/4 x^2 и y = -0,5x + 2.

Построим график функции $$y=\sqrt{x+4}.$$ Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 4 единицы влево.

На отрезке $$[1;5]$$ функция возрастает, значит:

$$y_{\min}= \sqrt{1+4}=\sqrt{5}, \qquad y_{\max}=\sqrt{5+4}=3.$$

Для уравнения $$\sqrt{x+4}=0{,}5x+2$$ найдём точки пересечения графиков. Возведём в квадрат:

$$x+4=\left(0{,}5x+2\right)^2$$

$$x+4=0{,}25x^2+2x+4$$

$$0{,}25x^2+x=0$$

$$x\left(0{,}25x+1\right)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Теперь решим неравенства по графикам.

а) $$\frac13x^2<x$$

Точки пересечения графиков: $$x=0$$ и $$x=3.$$ Между ними парабола ниже прямой, значит

$$0<x<3.$$

б) $$\frac14x^2\ge -0{,}5x+2$$

Точки пересечения графиков: $$x=-4$$ и $$x=2.$$ Парабола не ниже прямой вне промежутка между точками пересечения, значит

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=\sqrt5,\; y_{\max}=3.$$

б) $$x=-4,\; 0.$$

а) $$0<x<3.$$

б) $$x\le -4 \text{ или } x\ge 2.$$