Упр.24.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Какова вероятность того, что полученная парабола:
а) не пересечёт ось Оу;
б) будет симметрична относительно оси Оу;
в) будет иметь общую точку с осью Ох;
г) коснётся оси Ох;
д) пересечёт ось Ох в двух точках;
е) пройдёт через точку (1; 0)?
Решите графически уравнение:
а) 1/2 x^2 = -x + 4; г) 2x^2 = 2x + 4;
б) 3x^2 = 3x — 6; д) 1/3 x^2 = 2x — 3;
в) 3/4 x^2 = 3/2 x + 6; е) 1/3 x^2 = 1/3 x + 2.

Подробный ответ

Составляют квадратичную функцию вида $$y=ax^2+c.$$

Старший коэффициент выбирают наудачу из множества $$\{-1;1;2\},$$ а свободный коэффициент — из множества $$\{-1;0;1;2\}.$$

Всего равновозможных вариантов:

$$N=3\cdot 4=12.$$

Парабола не пересечёт ось $$Oy$$ — таких вариантов нет, так как график функции $$y=ax^2+c$$ всегда пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;c\right).$$
$$P= \frac{0}{12}=0.$$
Парабола симметрична относительно оси $$Oy$$ при любом выборе $$a$$ и $$c$$, значит, таких вариантов все $$12.$$
$$P=\frac{12}{12}=1.$$
Парабола имеет общую точку с осью $$Ox$$, если уравнение $$ax^2+c=0$$ имеет действительные корни.
Подходящих вариантов $$7$$, значит:
$$P=\frac{7}{12}.$$
Парабола касается оси $$Ox$$, если $$c=0.$$ Таких вариантов $$3$$.
$$P=\frac{3}{12}=\frac14.$$
Парабола пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, если уравнение $$ax^2+c=0$$ имеет два корня. Таких вариантов $$4$$.
$$P=\frac{4}{12}=\frac13.$$
Парабола проходит через точку $$\left(1;0\right),$$ если
$$a\cdot 1^2+c=0,$$
то есть $$a=-c.$$ Среди данных значений это выполняется в двух случаях.
$$P=\frac{2}{12}=\frac16.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$\frac{7}{12}$$; г) $$\frac14$$; д) $$\frac13$$; е) $$\frac16$$.

Ход решения

$$\frac12x^2=-x+4$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac12x^2+x-4=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$x^2+2x-8=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0.$$
$$x=-4,\; x=2.$$
$$3x^2=3x-6$$
$$3x^2-3x+6=0.$$
Разделим на $$3$$:
$$x^2-x+2=0.$$
$$D=1-8=-7<0,$$ значит, корней нет.
$$\frac34x^2=\frac32x+6$$
$$\frac34x^2-\frac32x-6=0.$$
Умножим на $$4$$:
$$3x^2-6x-24=0,$$
$$x^2-2x-8=0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0.$$
$$x=-2,\; x=4.$$
$$2x^2=2x+4$$
$$2x^2-2x-4=0.$$
Разделим на $$2$$:
$$x^2-x-2=0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0.$$
$$x=-1,\; x=2.$$
$$\frac13x^2=2x-3$$
$$\frac13x^2-2x+3=0.$$
Умножим на $$3$$:
$$x^2-6x+9=0,$$
$$\left(x-3\right)^2=0.$$
$$x=3.$$
$$\frac13x^2=\frac13x+2$$
$$\frac13x^2-\frac13x-2=0.$$
Умножим на $$3$$:
$$x^2-x-6=0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0.$$
$$x=-2,\; x=3.$$