Упр.24.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов составления таких функций.
б) Сколько всего таких парабол?
в) Сколько всего парабол с ветвями вверх?
г) Сколько всего парабол с ветвями вниз?
д) Сколько всего парабол, проходящих через начало координат?
е) Сколько всего парабол, не пересекающих ось Ох?
Составьте уравнение параболы у = kx^2, график которой изображён на указанном рисунке:
а) рис. 44; в) рис. 46; д) рис. 48;
б) рис. 45; г) рис. 47; е) рис. 49.
Составляем квадратичную функцию вида $$y=ax^2+c,$$ где $$a\in\{-1;1;2\}, \quad c\in\{-1;0;1;2\}.$$
а) Возможные варианты удобно представить в виде дерева: для каждого значения $$a$$ выбираются четыре значения $$c$$.
б) Всего таких парабол:
$$3\cdot 4=12.$$
в) Ветви вверх у парабол при $$a=1$$ и $$a=2$$. Тогда:
$$2\cdot 4=8.$$
г) Ветви вниз у парабол при $$a=-1$$. Тогда:
$$4.$$
д) Через начало координат проходят параболы, для которых $$c=0$$. Таких парабол:
$$3.$$
е) Парабола не пересекает ось $$Ox$$, если уравнение $$ax^2+c=0$$ не имеет действительных корней.
Проверим все возможные случаи:
- $$y=-x^2-1$$ — корней нет;
- $$y=x^2+1$$ — корней нет;
- $$y=x^2+2$$ — корней нет;
- $$y=2x^2+1$$ — корней нет;
- $$y=2x^2+2$$ — корней нет.
Итак, таких парабол $$5.$$
Для уравнений параболы $$y=kx^2$$ используем точки, через которые проходит график.
а) График проходит через точку $$ (1;3) $$:
$$3=k\cdot 1^2,$$
$$k=3.$$
Следовательно, $$y=3x^2.$$
б) График проходит через точку $$(-2;2)$$:
$$2=k\cdot (-2)^2,$$
$$2=4k,$$
$$k=\frac{1}{2}.$$
Следовательно, $$y=\frac{1}{2}x^2.$$
в) График проходит через точку $$\left(1;\frac{5}{2}\right)$$:
$$\frac{5}{2}=k\cdot 1^2,$$
$$k=\frac{5}{2}.$$
Следовательно, $$y=\frac{5}{2}x^2.$$
г) График проходит через точку $$ (3;3) $$:
$$3=k\cdot 3^2,$$
$$3=9k,$$
$$k=\frac{1}{3}.$$
Следовательно, $$y=\frac{1}{3}x^2.$$
д) График проходит через точку $$(-1;2)$$:
$$2=k\cdot (-1)^2,$$
$$k=2.$$
Следовательно, $$y=2x^2.$$
е) График проходит через точку $$ (2;1) $$:
$$1=k\cdot 2^2,$$
$$1=4k,$$
$$k=\frac{1}{4}.$$
Следовательно, $$y=\frac{1}{4}x^2.$$
Ответ
б) $$12$$; в) $$8$$; г) $$4$$; д) $$3$$; е) $$5$$.
а) $$y=3x^2$$; б) $$y=\frac{1}{2}x^2$$; в) $$y=\frac{5}{2}x^2$$; г) $$y=\frac{1}{3}x^2$$; д) $$y=2x^2$$; е) $$y=\frac{1}{4}x^2$$.
