Упр.23.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Постойте график функции и с помощью графика найдите:
а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 1];
б) при каких значениях х график функции у = f{x) расположен выше прямой у = 2.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} |x|, & x<3,\\ \frac13x+2, & x\ge 3. \end{cases} $$

На отрезке $$[-1;1]$$ выполняется условие $$x<3$$, значит здесь $$f(x)=|x|$$.

Тогда:

$$ f(-1)=|-1|=1,\qquad f(0)=|0|=0,\qquad f(1)=|1|=1. $$

Следовательно, наименьшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ равно $$0$$, а наибольшее — $$1$$.

Найдём, при каких $$x$$ график функции расположен выше прямой $$y=2$$, то есть решим неравенство $$f(x)>2$$.

1) Если $$x<3$$, то $$f(x)=|x|$$, и тогда

$$ |x|>2 \;\;\Longrightarrow\;\; x<-2 \text{ или } x>2. $$

С учётом условия $$x<3$$ получаем:

$$ x<-2 \text{ или } 2<x<3. $$

2) Если $$x\ge 3$$, то

$$ \frac13x+2>2 \;\;\Longrightarrow\;\; x>0, $$

а при $$x\ge 3$$ это верно для всех значений $$x$$ из данной части, значит здесь подходит весь промежуток $$x\ge 3$$.

Объединяя, получаем:

$$ x<-2 \text{ или } x>2. $$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1$$.
б) $$f(x)>2$$ при $$x<-2$$ и $$x>2$$.