Упр.23.29 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-3(x+2)^2+3, & \text{если } -3\leq x\leq -1;\\0, & \text{если } -10.\end{cases}$$

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -3(x+2)^2+3, & -3 \le x \le -1,\\ 0, & -1 < x \le 0,\\ \dfrac{2}{x+1}+2, & x>0. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть.

1. При $$-3 \le x \le -1$$ имеем параболу $$y=-3(x+2)^2+3$$, ветви направлены вниз. Ключевые точки:

   $$f(-3)=0,\quad f(-2)=3,\quad f(-1)=0.$$

   Значит, на этом промежутке график проходит через точки $$(-3,0)$$, $$(-2,3)$$, $$(-1,0)$$.

2. При $$-1 < x \le 0$$ функция постоянна: $$y=0$$. Это отрезок оси $$Ox$$ от $$x=-1$$ до $$x=0$$, причём точка $$(-1,0)$$ уже входит в предыдущую часть, а точка $$(0,0)$$ входит в этот участок.

3. При $$x>0$$ график задаётся формулой

   $$y=\dfrac{2}{x+1}+2.$$

   Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то $$y>2$$. При $$x \to +\infty$$ значение функции стремится к $$2$$, а при $$x \to 0+$$ получаем $$y \to 4$$, но точка $$x=0$$ не входит в этот участок.

По графику получаем:

$$D(f)=[-3;+\infty),$$
$$E(f)=[0;3].$$

Функция ограниченная и непрерывная на своей области определения.

На отрезке $$[-3;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;-1]$$ убывает, на $$[-1;0]$$ постоянна, а при $$x>0$$ возрастает.

Нулевые значения функции:

$$f(x)=0 \text{ при } x\in[-3;-1]\cup[-1;0].$$

Положительные значения:

$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty).$$

Отрицательных значений нет.

Наименьшее значение функции равно $$0$$, наибольшее — $$3$$.

Ответ

$$D(f)=[-3;+\infty),\quad E(f)=[0;3].$$
Функция ограниченная, непрерывная; возрастает на $$[-3;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;-1]$$, постоянна на $$[-1;0]$$.
$$f(x)=0 \text{ при } x\in[-3;-1]\cup[-1;0],\quad f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty).$$
$$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=3.$$