Упр.23.29 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
f(x) = система
-3(x + 2)2 + 3, если -3 < = x < = -1;
0, если -1 < x < = 0;
2/(x+1) + 2, если x > О.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} -3(x+2)^2+3, & -3 \le x \le -1,\\ 0, & -1 < x \le 0,\\ \dfrac{2}{x+1}+2, & x>0. \end{cases} $$
Рассмотрим каждую часть.
При $$-3 \le x \le -1$$ имеем параболу $$y=-3(x+2)^2+3$$, ветви направлены вниз. Ключевые точки:
$$ f(-3)=0,\quad f(-2)=3,\quad f(-1)=0. $$
Значит, на этом промежутке график проходит через точки $$(-3,0)$$, $$(-2,3)$$, $$(-1,0)$$.
При $$-1 < x \le 0$$ функция постоянна: $$y=0$$. Это отрезок оси $$Ox$$ от $$x=-1$$ до $$x=0$$, причём точка $$(-1,0)$$ уже входит в предыдущую часть, а точка $$ (0,0) $$ входит в этот участок.
При $$x>0$$ график задаётся формулой
$$ y=\dfrac{2}{x+1}+2. $$
Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то $$y>2$$. При $$x \to +\infty$$ значение функции стремится к $$2$$, а при $$x \to 0+$$ получаем $$y \to 4$$, но точка $$x=0$$ не входит в этот участок.
По графику получаем:
$$ D(f)=[-3;+\infty), $$
$$ E(f)=[0;3]. $$
Функция ограниченная и непрерывная на своей области определения.
На отрезке $$[-3;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;-1]$$ убывает, на $$[-1;0]$$ постоянна, а при $$x>0$$ возрастает.
Нулевые значения функции:
$$ f(x)=0 \text{ при } x\in[-3;-1]\cup[-1;0]. $$
Положительные значения:
$$ f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty). $$
Отрицательных значений нет.
Наименьшее значение функции равно $$0$$, наибольшее — $$3$$.
Ответ
$$ D(f)=[-3;+\infty),\quad E(f)=[0;3]. $$
Функция ограниченная, непрерывная; возрастает на $$[-3;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;-1]$$, постоянна на $$[-1;0]$$.
$$ f(x)=0 \text{ при } x\in[-3;-1]\cup[-1;0],\quad f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty). $$
$$ y_{\min}=0,\quad y_{\max}=3. $$
