Упр.23.25 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$, где:
а) $$f(x)=\begin{cases}(x+2)^2+2, & -3\leq x\leq -1;\\(x+1)^2+1, & x>-1;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+4}-1, & -4\leq x\leq 0;\\-x^2+1, & x>0.\end{cases}$$
а) $$f(x)= \begin{cases} (x+2)^2+2, & -3\le x\le -1,\\ (x+1)^2+1, & x>-1. \end{cases}$$
Первая ветвь — часть параболы $$y=(x+2)^2+2$$ на отрезке $$[-3;-1]$$. Её вершина: $$(-2;2)$$.
Вторая ветвь — часть параболы $$y=(x+1)^2+1$$ при $$x>-1$$. В точке $$x=-1$$ эта ветвь не входит в график, поэтому точка $$(-1;1)$$ выколота.
Область определения: $$[-3;+\infty)$$.
Область значений: $$[1;+\infty)$$.
Функция убывает при $$x\in[-3;-2]$$, возрастает при $$x\in[-2;+\infty)$$.
Нулей функции нет, так как обе ветви расположены выше оси $$Ox$$.
б) $$f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+4}-1, & -4\le x\le 0,\\ -x^2+1, & x>0. \end{cases}$$
Первая ветвь: $$y=\sqrt{x+4}-1$$ при $$-4\le x\le 0$$. Она возрастает от точки $$(-4;-1)$$ до точки $$\left(0;1\right)$$.
Вторая ветвь: $$y=-x^2+1$$ при $$x>0$$. Это правая часть параболы, направленной ветвями вниз.
Область определения: $$[-4;+\infty)$$.
Область значений: $$(-\infty;1]$$.
Функция возрастает при $$x\in[-4;0]$$, убывает при $$x\in[0;+\infty)$$.
Нули функции:
$$\sqrt{x+4}-1=0 \Rightarrow x=-3,$$
$$-x^2+1=0 \Rightarrow x=1.$$Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=-3$$ и $$x=1$$.
Ответ
а) $$D(f)=[-3;+\infty),\quad E(f)=[1;+\infty),\quad f(x)>0,\quad \text{нулей нет}.$$
б) $$D(f)=[-4;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;1],\quad f(x)=0 \text{ при } x=-3 \text{ и } x=1.$$
