Упр.23.24 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{2}{x+1}+2, & x<1,\\-2x-2, & x\geqslant1.\end{cases}$$

а) Найдите $$f(-2),\ f(-1),\ f(0{,}25).$$

б) Постройте график функции $$y=f(x).$$

в) С помощью графика функции найдите, при каких значениях $$x$$ $$f(x)=1,\quad f(x)=0,\quad f(x)=-2.$$

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{2}{x+1}+2, & x<-1,\\ -2x-2, & x\ge -1. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции.

$$f(-2)=\dfrac{2}{-2+1}+2=\dfrac{2}{-1}+2=-2+2=0.$$

$$f(-1)=-2\cdot(-1)-2=2-2=0.$$

$$f(0{,}25)=-2\cdot 0{,}25-2=-0{,}5-2=-2{,}5.$$

б) Построим график функции.

При $$x<-1$$ график задаётся формулой $$y=\dfrac{2}{x+1}+2$$ — это гипербола с асимптотами $$x=-1$$ и $$y=2$$.

При $$x\ge -1$$ график задаётся формулой $$y=-2x-2$$ — это прямая. Она проходит через точки $$(-1,0)$$ и $$\left(0,-2\right)$$.

Точка $$(-1,0)$$ принадлежит второй части функции, поэтому на графике она закрашена.

в) Найдём, при каких значениях $$x$$ выполняются равенства.

$$f(x)=1:$$

$$\dfrac{2}{x+1}+2=1 \quad (x<-1)$$

$$\dfrac{2}{x+1}=-1,\quad x+1=-2,\quad x=-3.$$

Проверка области определения подходит: $$-3<-1$$.

$$-2x-2=1 \quad (x\ge -1)$$

$$-2x=3,\quad x=-\dfrac{3}{2},$$

но $$-\dfrac{3}{2}<-1$$, значит это значение не подходит.

Следовательно, $$f(x)=1$$ при $$x=-3$$.

$$f(x)=0:$$

$$\dfrac{2}{x+1}+2=0 \quad (x<-1)$$

$$\dfrac{2}{x+1}=-2,\quad x+1=-1,\quad x=-2.$$

$$-2x-2=0 \quad (x\ge -1)$$

$$x=-1.$$

Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=-2$$ и $$x=-1$$.

$$f(x)=-2:$$

$$\dfrac{2}{x+1}+2=-2 \quad (x<-1)$$

$$\dfrac{2}{x+1}=-4,\quad x+1=-\dfrac{1}{2},\quad x=-\dfrac{3}{2}.$$

$$-2x-2=-2 \quad (x\ge -1)$$

$$x=0.$$

Значит, $$f(x)=-2$$ при $$x=-\dfrac{3}{2}$$ и $$x=0$$.

Ответ

а) $$f(-2)=0,\; f(-1)=0,\; f(0{,}25)=-2{,}5.$$
б) График состоит из гиперболы $$y=\dfrac{2}{x+1}+2$$ при $$x<-1$$ и прямой $$y=-2x-2$$ при $$x\ge -1$$.
в) $$f(x)=1$$ при $$x=-3$$; $$f(x)=0$$ при $$x=-2$$ и $$x=-1$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-\dfrac{3}{2}$$ и $$x=0$$.