Упр.23.21 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=|x-2|-3$$. С помощью графика найдите: а) наименьшее значение функции; б) промежутки возрастания, убывания функции; в) значения $$x$$, при которых $$y=0$$, $$y>0$$, $$y<0$$; г) множество значений функции.

Функция $$y=|x-2|-3$$ — это график модуля, сдвинутый вправо на $$2$$ и вниз на $$3$$. Поэтому вершина графика находится в точке $$\left(2;\,-3\right)$$, а ветви направлены вверх.

Отсюда сразу получаем:

• наименьшее значение функции равно $$-3$$;
• функция убывает при $$x\in(-\infty;2]$$;
• функция возрастает при $$x\in[2;+\infty)$$.

Найдём, при каких $$x$$ функция равна нулю:

$$|x-2|-3=0$$

$$|x-2|=3$$

$$x-2=3 \quad \text{или} \quad x-2=-3$$

$$x=5 \quad \text{или} \quad x=-1$$

Значит, $$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=5$$.

Так как график расположен выше оси $$Ox$$ вне отрезка между корнями, то:

$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(-1;5).$$

Множество значений функции начинается с наименьшего значения $$-3$$ и не ограничено сверху:

$$y\in[-3;+\infty).$$

Ответ

а) $$-3$$;

б) убывает при $$x\in(-\infty;2]$$, возрастает при $$x\in[2;+\infty)$$;

в) $$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=5$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$$; $$y<0$$ при $$x\in(-1;5)$$;

г) $$[-3;+\infty)$$.