Упр.23.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

f(x) = система
-3(х + 2)2 — 1, если -3 < = х < = -1; 4x, если -1 < х < = 1. Постройте график функции у = f(x) и определите, при каких значениях р уравнение f(x) = р: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет три корня; г) не имеет корней.

Рассмотрим график функции

$$ f(x)= \begin{cases} -3(x+2)^2-1, & -3\le x\le -1,\\ 4x, & -1<x\le 1. \end{cases} $$

На отрезке $$[-3;-1]$$ это ветвь параболы с вершиной в точке $$(-2;-1)$$. На промежутке $$(-1;1]$$ — отрезок прямой $$y=4x$$ от точки $$(-1;-4)$$ до точки $$\left(1;4\right)$$.

Найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ пересекает график функции.

• Для параболы значения $$y$$ лежат в промежутке $$[-4;-1]$$.
• Для отрезка прямой значения $$y$$ лежат в промежутке $$(-4;4]$$.

Теперь считаем число точек пересечения:

• если $$-1<p\le 4$$, прямая пересекает только отрезок прямой — один корень;
• если $$p=-4$$ или $$p=-1$$, получаем по две точки пересечения — два корня;
• если $$-4<p<-1$$, прямая пересекает обе части графика — три корня;
• если $$p<-4$$ или $$p>4$$, пересечений нет.

Ответ

а) $$-1<p\le 4$$;

б) $$p=-4$$ или $$p=-1$$;

в) $$-4<p<-1$$;

г) $$p<-4$$ или $$p>4$$.