Упр.23.20 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Проверьте, верно ли данное равенство:
   а) $$\sqrt{2}(3+2\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$$;
   б) $$(3+2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^2=1$$;
   в) $$(1+2\sqrt{2})^2(5-2\sqrt{2})=34$$;
   г) $$2-\sqrt{3}=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$;
   д) $$(\sqrt{3}-1)^2(4+2\sqrt{3})=4$$;
   е) $$(\sqrt{5}-3)^2(7+3\sqrt{5})=6\sqrt{5}$$.

1. а) Проверим равенство:

   $$\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2.$$

   Равенство верно.

2. б) Проверим равенство:

   $$\left(3+2\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)^2=1$$

   $$\left(1-\sqrt2\right)^2=1-2\sqrt2+2=3-2\sqrt2,$$

   тогда

   $$\left(3+2\sqrt2\right)\left(3-2\sqrt2\right)=9-8=1.$$

   Равенство верно.

3. в) Проверим равенство:

   $$\left(1+2\sqrt2\right)^2\left(5-2\sqrt2\right)=34$$

   $$\left(1+2\sqrt2\right)^2=1+4\sqrt2+8=9+4\sqrt2,$$

   тогда

   $$\left(9+4\sqrt2\right)\left(5-2\sqrt2\right)=45-18\sqrt2+20\sqrt2-16=29+2\sqrt2.$$

   Так как $$29+2\sqrt2\ne 34,$$ равенство неверно.

4. г) Проверим равенство:

   $$2-\sqrt3=\sqrt{7-4\sqrt3}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(2-\sqrt3\right)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.$$

   Равенство верно.

5. д) Проверим равенство:

   $$\left(\sqrt3-1\right)^2\left(4+2\sqrt3\right)=4$$

   $$\left(\sqrt3-1\right)^2=3-2\sqrt3+1=4-2\sqrt3,$$

   тогда

   $$\left(4-2\sqrt3\right)\left(4+2\sqrt3\right)=16-12=4.$$

   Равенство верно.

6. е) Проверим равенство:

   $$\left(\sqrt5-3\right)^2\left(7+3\sqrt5\right)=6\sqrt5$$

   $$\left(\sqrt5-3\right)^2=5-6\sqrt5+9=14-6\sqrt5,$$

   тогда

   $$\left(14-6\sqrt5\right)\left(7+3\sqrt5\right)=98+42\sqrt5-42\sqrt5-90=8.$$

   Так как $$8\ne 6\sqrt5,$$ равенство неверно.

Ответ

а) верно; б) верно; в) неверно; г) верно; д) верно; е) неверно.