Упр.23.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Сократите дробь:

а) $$\frac{x^2-11}{x-\sqrt{11}}$$; б) $$\frac{y+\sqrt{13}}{13-y^2}$$; в) $$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$; г) $$\frac{25-q}{\sqrt{q}-5}$$; д) $$\frac{x-3}{\sqrt{x}+3}$$; е) $$\frac{\sqrt{r}-\sqrt{s}}{s-r}$$.

1. а) Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

   $$x^2-11=(x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11})$$

   Тогда

   $$\frac{x^2-11}{x-\sqrt{11}}=\frac{(x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11})}{x-\sqrt{11}}=x+\sqrt{11}.$$

2. б) Представим знаменатель как разность квадратов:

   $$13-y^2=(\sqrt{13}-y)(\sqrt{13}+y)$$

   Тогда

   $$\frac{y+\sqrt{13}}{13-y^2}=\frac{y+\sqrt{13}}{(\sqrt{13}-y)(\sqrt{13}+y)}=\frac{1}{\sqrt{13}-y}.$$

3. в) Вынесем корни в числителе и знаменателе:

   $$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$$

   Тогда

   $$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}.$$

4. г) Аналогично:

   $$25-q=(5-\sqrt{q})(5+\sqrt{q})$$

   Тогда

   $$\frac{25-q}{\sqrt{q}-5}=\frac{(5-\sqrt{q})(5+\sqrt{q})}{\sqrt{q}-5}=-\,(5+\sqrt{q})=-5-\sqrt{q}.$$

5. д) Здесь в записи задания, по-видимому, опечатка: в знаменателе стоит $$\sqrt{x}+3$$, поэтому сократить дробь нельзя.

6. е) Преобразуем числитель:

   $$\sqrt{r}-\sqrt{s}=-(\sqrt{s}-\sqrt{r})$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{r}-\sqrt{s}}{s-r}=\frac{\sqrt{r}-\sqrt{s}}{(\sqrt{s}-\sqrt{r})(\sqrt{s}+\sqrt{r})}=-\frac{1}{\sqrt{s}+\sqrt{r}}.$$

Ответ

а) $$x+\sqrt{11}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{13}-y}$$; в) $$\sqrt{x}-\sqrt{y}$$; г) $$-5-\sqrt{q}$$; д) сократить нельзя; е) $$-\frac{1}{\sqrt{s}+\sqrt{r}}$$.