Упр.22.40 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
f(x) = система
2, если -5 < = х < = -3;
|x| - 1, если -3 < х < 1;
корень (x -1), если 1 < = x < = 5.
а) Найдите f(-5); f(1); f(пи2/4 + 1).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) Перечислите свойства функции.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} 2, & -5 \le x \le -3,\\ |x|-1, & -3 < x < 1,\\ \sqrt{x-1}, & 1 \le x \le 5. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-5)=2, $$
так как $$-5 \in [-5;-3].$$
$$ f(1)=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0, $$
так как $$1 \in [1;5].$$
$$ f\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)=\sqrt{\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)-1}=\sqrt{\frac{\pi^2}{4}}=\frac{\pi}{2}. $$
б) Построим график по частям:
- на отрезке $$[-5;-3]$$ — горизонтальный отрезок $$y=2$$;
- на промежутке $$(-3;1)$$ — график функции $$y=|x|-1$$, то есть две прямые: $$y=-x-1$$ при $$-3
- на отрезке $$[1;5]$$ — график функции $$y=\sqrt{x-1}$$.
в) Свойства функции:
- область определения: $$[-5;5]$$;
- область значений: $$[-1;2]$$;
- функция ограничена;
- функция непрерывна на своей области определения;
- убывает на $$[-3;0]$$;
- возрастает на $$[0;5]$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=\pm 1$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in[-5;-1)\cup(1;5]$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x\in(-1;1)$$;
- наименьшее значение: $$-1$$;
- наибольшее значение: $$2$$.
Ответ
$$ f(-5)=2,\quad f(1)=0,\quad f\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)=\frac{\pi}{2}. $$
Область определения: $$[-5;5]$$, область значений: $$[-1;2]$$.
