Упр.22.40 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где
   $$f(x)=\begin{cases} 2, & -5\leqslant x\leqslant -3,\\ |x|-1, & -3а) Найдите $$f(-5)$$; $$f(1)$$; $$f\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)$$.
   
   б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
   
   в) Перечислите свойства функции.

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 2, & -5 \le x \le -3,\\ |x|-1, & -3 < x < 1,\\ \sqrt{x-1}, & 1 \le x \le 5. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-5)=2,$$
так как $$-5 \in [-5;-3].$$

$$f(1)=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0,$$
так как $$1 \in [1;5].$$

$$f\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)=\sqrt{\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)-1}=\sqrt{\frac{\pi^2}{4}}=\frac{\pi}{2}.$$

б) Построим график по частям:

• на отрезке $$[-5;-3]$$ — горизонтальный отрезок $$y=2$$;
• на промежутке $$(-3;1)$$ — график функции $$y=|x|-1$$, то есть две прямые: $$y=-x-1$$ при $$-3
• на отрезке $$[1;5]$$ — график функции $$y=\sqrt{x-1}$$.

в) Свойства функции:

• область определения: $$[-5;5]$$;
• область значений: $$[-1;2]$$;
• функция ограничена;
• функция непрерывна на своей области определения;
• убывает на $$[-3;0]$$;
• возрастает на $$[0;5]$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=\pm 1$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in[-5;-1)\cup(1;5]$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-1;1)$$;
• наименьшее значение: $$-1$$;
• наибольшее значение: $$2$$.

Ответ

$$f(-5)=2,\quad f(1)=0,\quad f\left(\frac{\pi^2}{4}+1\right)=\frac{\pi}{2}.$$
Область определения: $$[-5;5]$$, область значений: $$[-1;2]$$.