Упр.22.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Используя график функции $$y=0{,}5x^2-2$$, найдите:
   а) значение функции при $$x=-1$$; $$x=0$$; $$x=2$$;
   б) значения аргумента, если $$y=0$$; $$y=-2$$; $$y=6$$;
   в) наименьшее значение функции;
   г) значения аргумента, при которых $$y<0$$; $$y>0$$.

Рассмотрим функцию $$y=0{,}5x^2-2.$$ Это парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине.

1. Найдём значения функции при заданных значениях аргумента:

   $$x=-1:\quad y=0{,}5\cdot(-1)^2-2=0{,}5-2=-1{,}5$$
   $$x=0:\quad y=0{,}5\cdot 0^2-2=-2$$
   $$x=2:\quad y=0{,}5\cdot 2^2-2=2-2=0$$

2. Найдём значения аргумента при заданных значениях функции:

   $$y=0:\quad 0{,}5x^2-2=0$$
   $$0{,}5x^2=2$$
   $$x^2=4$$
   $$x=\pm 2$$

   $$y=-2:\quad 0{,}5x^2-2=-2$$
   $$0{,}5x^2=0$$
   $$x=0$$

   $$y=6:\quad 0{,}5x^2-2=6$$
   $$0{,}5x^2=8$$
   $$x^2=16$$
   $$x=\pm 4$$

3. Наименьшее значение функции равно значению в вершине параболы:

   $$y_{\min}=-2.$$

4. Определим, при каких значениях аргумента функция принимает положительные и отрицательные значения:

   $$0{,}5x^2-2<0 \;\Rightarrow\; x^2<4 \;\Rightarrow\; -2<x<2$$

   $$0{,}5x^2-2>0 \;\Rightarrow\; x^2>4 \;\Rightarrow\; x<-2 \text{ или } x>2$$

Ответ

а) $$y(-1)=-1{,}5,$$ $$y(0)=-2,$$ $$y(2)=0.$$
б) при $$y=0$$: $$x=\pm 2$$; при $$y=-2$$: $$x=0$$; при $$y=6$$: $$x=\pm 4$$.
в) $$y_{\min}=-2.$$
г) $$y<0$$ при $$x\in(-2;2),$$ $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$