Упр.22.18 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=-\frac{1}{x}+1$$: а) на отрезке $$[1; 3]$$; б) на луче $$[1; +\infty)$$; в) на луче $$(-\infty; -1]$$; г) на отрезке $$[-4; -2]$$.

Функция $$y=-\frac{1}{x}+1$$ — гипербола. На каждом из указанных промежутков найдём значения функции на концах и учтём её монотонность.

а) На отрезке $$[1;3]$$:

$$y(1)=-\frac{1}{1}+1=0,$$
$$y(3)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}.$$

Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\frac{2}{3}.$$

б) На луче $$[1;+\infty)$$:

$$y(1)=0,$$
а при $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к $$1,$$ но не достигает его.

Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ а наибольшего значения нет.

в) На луче $$(-\infty;-1]$$:

$$y(-1)=-\frac{1}{-1}+1=2.$$

При $$x\to -\infty$$ значение функции стремится к $$1,$$ но не достигает его.

Следовательно, наименьшего значения нет, $$y_{\max}=2.$$

г) На отрезке $$[-4;-2]$$:

$$y(-4)=-\frac{1}{-4}+1=\frac{5}{4},$$
$$y(-2)=-\frac{1}{-2}+1=\frac{3}{2}.$$

Значит, $$y_{\min}=\frac{5}{4},$$ $$y_{\max}=\frac{3}{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{2}{3}$$;
б) $$y_{\min}=0,$$ наибольшего значения нет;
в) наименьшего значения нет, $$y_{\max}=2$$;
г) $$y_{\min}=\frac{5}{4},\ y_{\max}=\frac{3}{2}$$.