Упр.21.57 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+3},& -3\le x\le 1,\\2(x-1)^2,& 1

а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.

б) При каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень, два корня?

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+3}, & -3 \le x \le 1,\\ 2(x-1)^2, & 1 < x \le 3. \end{cases}$$

Найдём, какие значения принимает каждая ветвь.

1) При $$-3 \le x \le 1$$ имеем $$y=\sqrt{x+3}$$. Тогда

$$x=-3 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=2.$$
Значит, первая часть графика даёт значения $$y \in [0;2].$$

2) При $$1 < x \le 3$$ имеем $$y=2(x-1)^2$$. Тогда

$$x \to 1+ \Rightarrow y \to 0,\qquad x=3 \Rightarrow y=8.$$
Значит, вторая часть графика даёт значения $$y \in (0;8].$$

Итак, график функции состоит из двух частей: корня на отрезке $$[-3;1]$$ и параболы на промежутке $$(1;3].$$ Точки $$(-3;0)$$, $$(1;2)$$ и $$(3;8)$$ принадлежат графику, а точка $$(1;0)$$ не принадлежит ему, так как при $$x=1$$ действует первая формула.

Теперь рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$.

На первом участке $$y=\sqrt{x+3}$$ значения $$p$$ от $$0$$ до $$2$$ включительно дают по одному решению, а при $$p=2$$ решение одно: $$x=1$$.

На втором участке $$y=2(x-1)^2$$ при $$0

Считаем число корней уравнения $$f(x)=p$$:

• если $$p=0$$, то корень один: $$x=-3$$;
• если $$0
• если $$p=2$$, то корней два: $$x=1$$ и ещё одно решение на второй ветви;
• если $$2
• если $$p<0$$ или $$p>8$$, корней нет.

Ответ

а) График состоит из частей $$y=\sqrt{x+3}$$ при $$-3 \le x \le 1$$ и $$y=2(x-1)^2$$ при $$1 < x \le 3$$.
б) Один корень при $$p=0$$ и при $$2