Упр.21.57 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

корень (x + 3), если -3 < = х < = 1; 2(x - 1)2, если 1 < х < = 3. а) Постройте график функции у = f(x). б) При каких значениях р уравнение f(x) = р имеет один корень, два корня?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+3}, & -3 \le x \le 1,\\ 2(x-1)^2, & 1 < x \le 3. \end{cases} $$

Найдём, какие значения принимает каждая ветвь.

1) При $$-3 \le x \le 1$$ имеем $$y=\sqrt{x+3}$$. Тогда

$$ x=-3 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=2. $$
Значит, первая часть графика даёт значения $$y \in [0;2].$$

2) При $$1 < x \le 3$$ имеем $$y=2(x-1)^2$$. Тогда

$$ x \to 1+ \Rightarrow y \to 0,\qquad x=3 \Rightarrow y=8. $$
Значит, вторая часть графика даёт значения $$y \in (0;8].$$

Итак, график функции состоит из двух частей: корня на отрезке $$[-3;1]$$ и параболы на промежутке $$ (1;3].$$ Точки $$(-3;0)$$, $$ (1;2)$$ и $$ (3;8)$$ принадлежат графику, а точка $$ (1;0)$$ не принадлежит ему, так как при $$x=1$$ действует первая формула.

Теперь рассмотрим уравнение $$f(x)=p$$.

На первом участке $$y=\sqrt{x+3}$$ значения $$p$$ от $$0$$ до $$2$$ включительно дают по одному решению, а при $$p=2$$ решение одно: $$x=1$$.

На втором участке $$y=2(x-1)^2$$ при $$0

Считаем число корней уравнения $$f(x)=p$$:

• если $$p=0$$, то корень один: $$x=-3$$;
• если $$0
• если $$p=2$$, то корней два: $$x=1$$ и ещё одно решение на второй ветви;
• если $$2
• если $$p<0$$ или $$p>8$$, корней нет.

Ответ

а) График состоит из частей $$y=\sqrt{x+3}$$ при $$-3 \le x \le 1$$ и $$y=2(x-1)^2$$ при $$1 < x \le 3$$.
б) Один корень при $$p=0$$ и при $$2