Упр.21.54 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Сколько решений имеет система уравнений:

а) $$\begin{cases} y=-\frac{4}{x-3},\\ y=\lvert x+2\rvert; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y=2(x-1)^2,\\ y=\sqrt{x+2}? \end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y=-\dfrac{4}{x-3},\\ y=|x+2|. \end{cases}$$

Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$|x+2|=-\dfrac{4}{x-3}.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2,$$ и

$$x+2=-\dfrac{4}{x-3}.$$

$$(x+2)(x-3)=-4$$

$$x^2-x-6=-4$$

$$x^2-x-2=0$$

$$(x-2)(x+1)=0.$$

Получаем $$x=2$$ или $$x=-1.$$ Оба значения подходят условию $$x\ge -2.$$

2) Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ и

$$-(x+2)=-\dfrac{4}{x-3}.$$

$$(x+2)(x-3)=4$$

$$x^2-x-6=4$$

$$x^2-x-10=0.$$

$$D=1+40=41,$$

$$x=\dfrac{1\pm \sqrt{41}}{2}.$$

Из них условию $$x<-2$$ удовлетворяет только

$$x=\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}.$$

Итак, система имеет три решения.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y=2(x-1)^2,\\ y=\sqrt{x+2}. \end{cases}$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$2(x-1)^2=\sqrt{x+2}.$$

Область определения: $$x\ge -2.$$

Проверим возможные точки пересечения графиков. При $$x=1$$ получаем

$$2(1-1)^2=0,\qquad \sqrt{1+2}=\sqrt3,$$

не подходит. Из графика видно, что пересечения происходят в двух точках, значит система имеет два решения.

Ответ

а) $$3$$ решения; б) $$2$$ решения.