Упр.21.53 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 19.53 Сколько решений имеет система уравнений:

1. а) Решим систему:
   $$\begin{cases} y=\dfrac{1}{x-2},\\ y=\dfrac{x}{3}. \end{cases}$$
   Приравняем правые части:
   $$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x}{3}, \quad x\ne 2.$$
   Тогда
   $$3=x(x-2),$$
   $$x^2-2x-3=0,$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$
   Отсюда
   $$x=3 \text{ или } x=-1.$$
   Оба значения допустимы, значит система имеет два решения.

2. б)
   $$\begin{cases} y=-\dfrac{2}{x+3},\\ x-y=7. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-7.$$
   Подставим:
   $$-\dfrac{2}{x+3}=x-7, \quad x\ne -3.$$
   Умножим на $$x+3$$:
   $$-2=(x+3)(x-7),$$
   $$-2=x^2-4x-21,$$
   $$x^2-4x-19=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-19)=16+76=92>0.$$
   Значит, уравнение имеет два действительных корня, следовательно, система имеет два решения.

3. в)
   $$\begin{cases} y=-\dfrac{3}{x+2},\\ y=-2x-1. \end{cases}$$
   Приравняем:
   $$-\dfrac{3}{x+2}=-2x-1, \quad x\ne -2.$$
   Умножим на $$x+2$$:
   $$-3=-(2x+1)(x+2),$$
   $$3=(2x+1)(x+2),$$
   $$2x^2+5x+2=3,$$
   $$2x^2+5x-1=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-1)=25+8=33>0.$$
   Следовательно, система имеет два решения.

4. г)
   $$\begin{cases} y=\dfrac{4}{x-2},\\ x+y=2. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=2-x.$$
   Подставим:
   $$\dfrac{4}{x-2}=2-x, \quad x\ne 2.$$
   Так как $$2-x=-(x-2),$$ получаем
   $$\dfrac{4}{x-2}=-(x-2).$$
   Тогда
   $$4=-(x-2)^2,$$
   что невозможно, так как левая часть положительна, а правая не положительна.
   Значит, решений нет.

Ответ

а) 2 решения; б) 2 решения; в) 2 решения; г) решений нет.