Упр.21.52 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

• а) Система $$\begin{cases} y=\sqrt{x-3}, \\ y=(x-3)^2; \end{cases}$$
• б) Система $$\begin{cases} y=x-2, \\ y=\sqrt{(x^2-8x+16)^2}; \end{cases}$$
• в) Система $$\begin{cases} y=\sqrt{x+4}, \\ y=-2x+2; \end{cases}$$
• г) Система $$\begin{cases} y=0{,}5(x+1)^2, \\ y=\sqrt{x^2+2x+1}. \end{cases}$$

1. а)

   $$\begin{cases} y=\sqrt{x-3},\\ y=(x-3)^2 \end{cases}$$

   Положим $$t=x-3$$, тогда $$t\ge 0$$ и система принимает вид

   $$\begin{cases} y=\sqrt{t},\\ y=t^2 \end{cases}$$

   Приравняем:

   $$\sqrt{t}=t^2$$

   $$t=0 \quad \text{или} \quad t=1$$

   Тогда

   $$x-3=0 \Rightarrow x=3,\quad y=0$$

   $$x-3=1 \Rightarrow x=4,\quad y=1$$

2. б)

   $$\begin{cases} y=(x-2)^2,\\ y=\sqrt{x^2-8x+16} \end{cases}$$

   Преобразуем корень:

   $$x^2-8x+16=(x-4)^2,\qquad \sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$$

   Тогда

   $$\begin{cases} y=(x-2)^2,\\ y=|x-4| \end{cases}$$

   Решаем уравнение пересечения:

   $$(x-2)^2=|x-4|$$

   Проверкой получаем:

   $$x=0,\ y=4;\qquad x=3,\ y=1$$

3. в)

   $$\begin{cases} y=\sqrt{x+4},\\ y=-2x+2 \end{cases}$$

   Приравняем:

   $$\sqrt{x+4}=-2x+2$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$-2x+2\ge 0$$, значит $$x\le 1$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x+4=( -2x+2)^2$$

   $$x+4=4x^2-8x+4$$

   $$4x^2-9x=0$$

   $$x(4x-9)=0$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{9}{4}$$

   Подходит только $$x=0$$, тогда $$y=2$$.

4. г)

   $$\begin{cases} y=0{,}5(x+1)^2,\\ y=\sqrt{x^2+2x+1} \end{cases}$$

   Преобразуем корень:

   $$x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad \sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$$

   Тогда

   $$\begin{cases} y=0{,}5(x+1)^2,\\ y=|x+1| \end{cases}$$

   Решаем:

   $$0{,}5(x+1)^2=|x+1|$$

   Пусть $$t=|x+1|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

   $$0{,}5t^2=t$$

   $$t(0{,}5t-1)=0$$

   $$t=0 \quad \text{или} \quad t=2$$

   Отсюда:

   $$|x+1|=0 \Rightarrow x=-1,\ y=0$$

   $$|x+1|=2 \Rightarrow x=-3 \text{ или } x=1,\ y=2$$

Ответ

а) $$(3;0),\ (4;1)$$; б) $$(0;4),\ (3;1)$$; в) $$(0;2)$$; г) $$(-3;2),\ (-1;0),\ (1;2)$$.