Упр.21.52 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

y= корень (x-3),
y=(x-3)2;
б) система
y= (x-2),
y=корень (x2-8x+16)2;
в) система
y= корень (x+4),
y=-2x+2;
г) система
y= 0,5(x+1)2,
y= корень (x2+2x+1).

Подробный ответ

а)
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x-3},\\ y=(x-3)^2 \end{cases} $$
Положим $$t=x-3$$, тогда $$t\ge 0$$ и система принимает вид
$$ \begin{cases} y=\sqrt{t},\\ y=t^2 \end{cases} $$
Приравняем:
$$ \sqrt{t}=t^2 $$
$$ t=0 \quad \text{или} \quad t=1 $$
Тогда
$$ x-3=0 \Rightarrow x=3,\quad y=0 $$
$$ x-3=1 \Rightarrow x=4,\quad y=1 $$
б)
$$ \begin{cases} y=(x-2)^2,\\ y=\sqrt{x^2-8x+16} \end{cases} $$
Преобразуем корень:
$$ x^2-8x+16=(x-4)^2,\qquad \sqrt{(x-4)^2}=|x-4| $$
Тогда
$$ \begin{cases} y=(x-2)^2,\\ y=|x-4| \end{cases} $$
Решаем уравнение пересечения:
$$ (x-2)^2=|x-4| $$
Проверкой получаем:
$$ x=0,\ y=4;\qquad x=3,\ y=1 $$
в)
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x+4},\\ y=-2x+2 \end{cases} $$
Приравняем:
$$ \sqrt{x+4}=-2x+2 $$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-2x+2\ge 0$$, значит $$x\le 1$$.
Возведём в квадрат:
$$ x+4=( -2x+2)^2 $$
$$ x+4=4x^2-8x+4 $$
$$ 4x^2-9x=0 $$
$$ x(4x-9)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{9}{4} $$
Подходит только $$x=0$$, тогда $$y=2$$.
г)
$$ \begin{cases} y=0{,}5(x+1)^2,\\ y=\sqrt{x^2+2x+1} \end{cases} $$
Преобразуем корень:
$$ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad \sqrt{(x+1)^2}=|x+1| $$
Тогда
$$ \begin{cases} y=0{,}5(x+1)^2,\\ y=|x+1| \end{cases} $$
Решаем:
$$ 0{,}5(x+1)^2=|x+1| $$
Пусть $$t=|x+1|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$ 0{,}5t^2=t $$
$$ t(0{,}5t-1)=0 $$
$$ t=0 \quad \text{или} \quad t=2 $$
Отсюда:
$$ |x+1|=0 \Rightarrow x=-1,\ y=0 $$
$$ |x+1|=2 \Rightarrow x=-3 \text{ или } x=1,\ y=2 $$