Упр.21.50 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) корень (x2-2x+1) = 2/x;
в) корень (x2+6x+9) = -(x+3)2;
г) корень (x2+4x+4) = -x.

а) $$\sqrt{x^2-4x+4}=-2(x-2)^2$$

$$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|,$$

поэтому получаем уравнение

$$|x-2|=-2(x-2)^2.$$

Левая часть неотрицательна, правая не положительна. Равенство возможно только при

$$|x-2|=0,$$

то есть

$$x=2.$$

б) $$\sqrt{x^2-2x+1}=\frac{2}{x}$$

$$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|,$$

получаем

$$|x-1|=\frac{2}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Так как правая часть должна быть неотрицательной, то $$x>0.$$

Рассмотрим случаи:

1) если $$x\ge 1,$$ то $$x-1=\frac{2}{x},$$ откуда

$$x^2-x-2=0,$$

$$ (x-2)(x+1)=0,$$

$$x=2.$$

2) если $$0<x<1,$$ то $$1-x=\frac{2}{x},$$

$$x-x^2=2,$$

что решений не имеет.

Значит, $$x=2.$$

в) $$\sqrt{x^2+6x+9}=(x+3)^2$$

$$\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|,$$

поэтому

$$|x+3|=(x+3)^2.$$

Обозначим $$t=|x+3|,\; t\ge 0.$$ Тогда

$$t=t^2,$$

$$t(t-1)=0,$$

откуда $$t=0$$ или $$t=1.$$

1) $$|x+3|=0 \Rightarrow x=-3.$$

2) $$|x+3|=1 \Rightarrow x+3=1 \text{ или } x+3=-1,$$

откуда $$x=-2$$ или $$x=-4.$$

г) $$\sqrt{x^2+4x+4}=-x$$

$$\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|,$$

получаем

$$|x+2|=-x.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x\le 0.$$

Рассмотрим случаи:

1) если $$x\ge -2,$$ то $$x+2=-x,$$

$$2x=-2,$$

$$x=-1.$$

2) если $$x<-2,$$ то $$-(x+2)=-x,$$

$$-x-2=-x,$$

что невозможно.

Значит, $$x=-1.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=2$$; в) $$x=-4,\,-3,\,-2$$; г) $$x=-1$$.