Упр.21.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$(3-\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}.$$ Можно ли на основании этого утверждать, что $$\sqrt{22-6\sqrt{13}}=3-\sqrt{13}$$?

Докажем равенство, раскрывая квадрат суммы:

$$(3-\sqrt{13})^2=3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{13}+(\sqrt{13})^2$$

$$=9-6\sqrt{13}+13=22-6\sqrt{13}.$$

Значит,

$$(3-\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13},$$

что и требовалось доказать.

Теперь проверим, можно ли отсюда сделать вывод, что

$$\sqrt{22-6\sqrt{13}}=3-\sqrt{13}.$$

Так как

$$3-\sqrt{13}<0,$$

то правая часть отрицательна, а квадратный корень неотрицателен. Поэтому равенство неверно.

На самом деле

$$\sqrt{22-6\sqrt{13}}=\left|3-\sqrt{13}\right|=\sqrt{13}-3.$$

Ответ

$$(3-\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}.$$
Утверждать, что $$\sqrt{22-6\sqrt{13}}=3-\sqrt{13},$$ нельзя; верно: $$\sqrt{22-6\sqrt{13}}=\sqrt{13}-3.$$